请预览后下载！请预览后下载！请预览后下载！教学过程课堂导入太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．请预览后下载！师：抛物线有几个焦点？【提示】一个．师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．师：抛物线有对称中心吗？【提示】没有．师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．请预览后下载！请预览后下载！一、复习预习1、复习抛物线的定义及标准方程的内容2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．）请预览后下载！二、知识讲解请预览后下载！考点1 抛物线性质请预览后下载！请预览后下载！考点2 直线与抛物线1、通径：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB ，叫做抛物线的通径， 其长为叫做抛物线的2p ．2、抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则20px PF +=；y 2=2px(p ＜0＝上任意一点，F 为焦点，则20p x PF +-=； 3、抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2，x 1x 2=42p ;请预览后下载！三、例题精析【例题1】【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．请预览后下载！请预览后下载！【答案】y 2＝±42x .【解析】由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．焦点F (a 4，0)，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为(a 4，a 2)，(a 4，－a2)，∴AB ＝|a |， ∵△OAB 的面积为4，∴12·|a4|·|a |＝4，∴a ＝±42，∴拋物线的方程为y2＝±42x.请预览后下载！【例题2】【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x29＋y216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．请预览后下载！请预览后下载！【答案】y 2＝20x 或y 2＝－20x .【解析】 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，∴椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线为x 轴．∴抛物线的对称轴为x 轴．∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)． ∴|m4|＝5，∴m ＝±20.∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x .请预览后下载！【例题3】【题干】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且AB＝5p，求AB所在2直线的方程．请预览后下载！请预览后下载！【答案】y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．【解析】法一 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝k x －p2y 2＝2px，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋1k2·y 1－y 22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2＝2p(1＋1k2)＝52p，解得k＝±2.∴AB所在直线方程为y＝2(x－p2)或y＝－2(x－p2)．法二如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，A(x1，y1)、B(x2，y2)，请预览后下载！请预览后下载！设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p 2， 于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎨⎧ y ＝k x －p2y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p k 2＋2k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程请预览后下载！为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．请预览后下载！【例题4】【题干】斜率为1的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．2请预览后下载！【答案】10【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长AB＝p＋(y1＋y2)＝4＋(y1＋y2)．因为抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为12，所以直线AB的方程为y＝12x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以AB＝10.即线段AB的长为10.请预览后下载！请预览后下载！【例题5】【题干】已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当PA最小时P点的坐标．请预览后下载！【答案】P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．【解析】设P(x，y)，则PA＝x－a2＋y2＝x－a2＋4x＝[x－a－2]2＋4a－4.∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：(1)当a－2≤0即a≤2时，PA的最小值为|a|，此时P(0，0)．(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，PA取得最小值为2a－1，此时P(a－2，±2a－2)．请预览后下载！综上所述，PA最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．请预览后下载！【例题6】【题干】求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．请预览后下载！请预览后下载！ 【答案】728. 【解析】 法一 设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ，则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12|(x 0－12)2＋74|. 当x 0＝12时，d min ＝728. 法二 ⎩⎨⎧ y ＝x 2x －y ＋m ＝0消去y 得x 2－x －m ＝0令Δ＝1＋4m ＝0得m ＝－14， ∴切线方程为x －y －14＝0，∴最短距离为d＝|－2＋14|2＝782.【例题请预览后下载！7】【题干】求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．请预览后下载！请预览后下载！【答案】x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.【解析】若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎨⎧ x ＝0，y 2＝2x 得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.请预览后下载！当k ＝0时，有⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y＝12x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.请预览后下载！四、课堂运用【基础】1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【答案】y2＝8x【解析】∵p2＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.请预览后下载！2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【答案】2p【解析】通径长为2p.请预览后下载！3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．【答案】10【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.请预览后下载！4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．【答案】3 2【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d2＝|3×1＋0|32＋12＝32.请预览后下载！【巩固】1．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．【答案】123【解析】设△AOB边长为a，则A(32a，a2)，∴a24＝6×32a.∴a＝12 3.请预览后下载！2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.【答案】4a【解析】由焦点弦性质知1PF＋1FQ＝2p，抛物线的标准方程为x2＝1ay(a>0)，∴2p＝1a，p＝12a，∴1PF ＋1FQ＝4a，即1m＋1n＝4a.请预览后下载！3．已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【答案】相切【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.设A，B，M到准线l：x＝－p2距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋p2，d2＝x2＋p2，d＝d1＋d22＝x1＋x2＋p2＝AB2，请预览后下载！∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．请预览后下载！4．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．【答案】2 6【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝6，解得x0＝±6，所以水面宽为26米．请预览后下载！请预览后下载！请预览后下载！【拔高】1．设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【答案】x 2＝－16y .【解析】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 由⎩⎨⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0.∴Δ＝0即m ＝－98p .请预览后下载！又d ＝|14－98p |5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)，∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .请预览后下载！2．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【答案】(1,0)．【解析】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0. 所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．请预览后下载！。