《高等数学》单元自测题
第一章 极限与函数的连续性
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一、 填空题：
1．设()x
x x f +-=11，则()[]x f f =_____________。

2． =<<+-∞→)0(lim b a b a b a n
n n
n n ________ __。

3． ()x
x x 3021lim -→=_______ ___。

4． =++∞→x
x x x 1sin 2332lim 2___ _______。

5． 已知0→x 时()11312-+ax
与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。

6． 函数
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x
的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：
1．设函数()x f 的定义域是[]1,0，2
10<
<a ，则函数()()a x f x g +=()a x f -+的定义域是（ ）。

（A ）[]a a -1,； （B ）[]a a +1,； （C ）[]a a --1,； (D) []a a +-1,。

2．已知极限0)2(lim 2=++∞→kn n
n n ，则常数=k （ ）。

(A) 1- ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若()A x f x x =→0
lim ，则下面选项中不正确的是（ ）。

(A) α+=A x f )(，其中α为无穷小； (B))(x f 在0x 点可以无意义；
(C))(0x f A = ； (D) 若0>A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。

4． 当0→x 时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。

(A) 2sin x ； (B) 2cos 1x -； (C) ()21ln x +； (D) ()
1e -x x 。

5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0
),1ln(1
0,0,
sin )(x x x x b x x ax x f 在点0=x 处连续，则常数b a ,的值为（ ）。

(A) 0,0==b a ； (B) 1,1==b a ；
(C) 1,1-=-=b a ； (D)1,1-==b a 。

6． 方程014=--x x 至少有一个根的区间是（ ）。

(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，； (B) ⎪⎭⎫
⎝⎛121，； (C) ()21，； (D)
()32，。

三、 计算下列各题：
1．求函数1e e +=x x
y 的反函数，并求反函数的定义域。

2．求极限()11lim --+∞→n n n n 。

3．求极限⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++∞→n n n n n n 2222211lim 。

4．求极限⎪⎭⎫
⎝⎛---→1311
lim 31x x x 。

5．设82lim =⎪⎭⎫
⎝⎛-+∞→x
x a x
a x ，求常数a 。

6．求极限()212
0tan 31lim x x x +→。

7．讨论函数()()()1122--=
x x x x x f 的间断点及其类型。

四、 证明题：
1. 设21=x ，)1(211n
n n x x x +=+() ,2,1=n ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求极限值。

2. 设函数()x f 在[]b a ,上连续，且()b x f a <<。

证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使()ξξ=f 。