基于MATLAB在自动控制频域中稳定性分析的应用学院：物信学院班级：08电信二班姓名：王军祥学号：281060217基于MATLAB在自动控制频域中稳定性分析的应用摘要:自动控制系统主要利用MATLAB高级语言对其进行计算机分析。

MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形绘制集于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境。

本文主要介绍了利用MATLAB在自动控制中对频域中系统稳定性的判定，通过MATLAB建立某一系统的模型,并分析该系统的性能。

根据响应曲线判断系统的稳定性，当系统的性能不能满足所要求的性能指标时,通过调整系统参数和增添校正装置来改善系统性能并展示方便灵活的动态仿真结果。

关键词:自动控制系统；稳定性；频域分析；频率响应；稳定裕度引言频域分析法是应用频域特性研究线性控制系统的一种经典方法，采用这种方法可以直观的表达出系统的频率特性，利用系统的传递函数绘制系统的bode 图、nyquist曲线和nichols图，然后进行系统稳定性的判定，这样可以很明确的判定系统频域的稳定性。

频域分析法是自动控制领域中应用又一种数学工具———频率特性来研究系统控制过程性能，即稳定性、快速性及稳态精度的一种方法。

这种方法不必直接求解系统的微分方程，而是间接的运用系统的开环频率特性曲线，分析闭环系统的响应，因此它是一种图解的方法。

本文介绍了应用MATLAB在bode图、nyquist曲线和nichols图等控制系统频域分析中的主要方法，通过具体实例叙述了MATLAB在频域分析中的应用过程。

频域分析里主要用到三种曲线（或叫图）：Bode图、Nyquist曲线图和 Nichols（尼柯尔斯）曲线图。

这三种曲线就是频率分析的三种工具。

Bode图可以用于分析相角稳定裕度、-穿越频率、带宽、扰动抑制及其稳定性幅（或模）值稳定裕度、剪切频率、π等，所以Bode图在频域分析里占有重要的地位。

Nyquist与Nichols曲线图在频域分析里也很有用。

本文中最重要的函数命令有bode、nyquist、pade、nichols、margin等。

一.频域分析法的基础1.有关频率分析的几个概念（1）频率响应当正弦函数信号作用于线性系统时，系统稳定后输出的稳态分量仍然是同频率的正弦信号，这种过程叫做系统的频率响应。

（2）频率特性设有稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，其振幅与输入正弦信号振幅比相对于正弦信号角频率间的关系)(ωA 叫做幅频特性；其相位与输入正弦信号的相位之差相对于正弦信号角频率间的关系)(ωϕ叫做相频特性。

系统频率响应与输入正弦信号的复数比叫做系统的频率特性。

记作： )()()(ωϕωωj e A j G = (1) 2. Bode 图Bode 图即对数频率特性曲线。

Bode 图有两条曲线，分别是对数幅频特性与对数相频特性。

横坐标都是角频率ω，是按常用对数（以10为底的对数）刻度的即ωlg ，其单位是rad/s 。

对数相频特性的纵坐标是)(ωϕ，等分刻度，其单位为角度或弧度（rad ）；而对数幅频特性的纵坐标是 )(lg 20)(ωωA L =，也是等分刻度的，其单位为dB 。

3.幅相选择性系统的频率特性)()()(ωϕωωj e A j G =里既有振幅信息又有相位信息，所以又叫做系统的幅相特性。

幅相特性图形化的形式，即是幅相特性曲线。

4.频率特性的极坐标图频率特性()G j ω是ω的复变函数，在()G j ω复平面上对于某一ω可以用以向量或其端点（坐标）来表示。

当ω从0→∞时，()G j ω端点的极坐标轨迹即是频率特性的极坐标图，叫做Nyquist 曲线图或幅相特性曲线。

5.Nichols 曲线图.对于单位负反馈系统其闭环与开环传递函数()G s 间的关系为)(1)()(s G s G s +=Φ(2)则频率特性之间的关系为 )(1)()(ωωωj G j G j +=Φ (3)若以模幅式()G j ω表示为 G j e G j G ∠=)(ω (4) 则 )()()(ωαωωj e M j =Φ (5)将闭环幅频()M ω与闭环相频()αω合成幅相特性为Gj G j j eG e G e M ∠∠+=1)()(ωαω (6)由此幅相特性可以求得两个函数表达式，即),(1G G f M ∠= (7)),(2G G f ∠=α (8)这两个函数表达式的图形化曲线就叫做Nichols 曲线图。

6.频域性能指标1.）峰值：它是幅频特性()A ω的最大值。

2．）频带：它是幅频特性()A ω的数值衰减到0.707(0)A 时对应的角频率。

3.）相频宽：它是相频特性()ϕω等于/2π-时对应的角频率。

4.）剪切频率：系统开环对数幅频特性曲线20lg G 与横坐标轴()ω交点的角频率，常用c ω（或cp ω ）来标识。

5.）π- 穿越频率：系统开环对数相频特性曲线()ϕω与π- 线交点所对应的角频率（即开环幅相特性曲线()G j ω与负实轴的交点所对应的角频率），常用g ω （或cg ω ）来标识。

6.）稳度裕度1.相角稳定裕度：系统开环幅相特性曲线()G j ω上模值等于1的向量与负实轴的夹角，即 )()(πωϕγ--=c (9)2．幅值稳定裕度：开环幅相特性曲线()G j ω与负实轴交点(cg ω)模值G(cg ω)的倒数，即 )(1cg G h ω=(10)或者是其交点模值倒数的分贝值，即 h L h lg 20= (11) 7.三频段概念系统开环对数振幅频率特性曲线20lg G 按横坐标大致分为3个频段。

在开环对数振幅特性曲线20lg G 上第一个转折频率以左的区段，是由积分环节与开环增益所确定的，此为低频段；在20lg G 上第一个转折频率以右的剪切频率c ω附近的区段叫做中频段，这段特性集中反映了闭环系统动态响应的稳定性与快速性。

在中频段以右10c ωω>的区段叫做高频段，此部分是由系统中时间常数很小、频带很高的元件决定的，系统在高频段的分贝值，反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。

8.Nyquist 稳定判据系统开环幅相特性()G j ω如果满足以下关系式：πωωp j G =+∠∆∞→)](1[0:则系统闭环稳定。

式中，P 为系统开环特征方程的不稳定根个数。

9.对数频率稳定判据当P=0时，在开环对数幅相特性曲线20lg 0G >的范围内，相频特性曲线()ϕω对π-线的正穿（由下向上）次数与负穿（由上向下）次数相等，则系统闭环稳定；当0P ≠时，在开环对数幅相特性曲线20lg 0G >的范围内，若相频特性曲线()ϕω对π-线正穿次数与负穿次数之差为P/2，则系统闭环稳定。

二．控制系统的频域特性当正弦函数信号作用于线性系统时，系统稳定后输出的稳态分量仍然是同频率的正弦信号，这种过程叫做系统的频率响应。

根据自动控制原理，系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比叫做系统的频率特性记作：()()()j G j A e ϕωωω=系统的频率特性与系统传递函数之间有着简单而直接的关系：ωωj s s G j G ==)()( (12)1.若系统的单位阶跃响应为t t e e t c 532.15.11)(--++= （t 0≥） 。

试确定系统的频率响应。

其实现的程序代码如下： >> syms t s c r G R C omega; >> r=sym('Heaviside(t)');>> R=laplace(r);>> c=1+1.5*exp(-3*t)+1.2*exp(-5*t); >> C=laplace(c); >> C=factor(C); >> G=C/R;>> G=subs(G,s,j*omega) G =1/10*(-37*omega^2+191*i*omega+150)/(i*omega+3)/(i*omega+5) 即系统的频率响应为 )5)(3)(15019137(101)(2++++-=ωωωωωj j j j G 2.试计算振荡环节2221)(nn s s s G ωξω++=的频率特性。

其实现的程序代码如下：>> syms zet omega omegan real;>> G=omegan^2/((j*omega)^2+2*zet*omegan*(j*omega)+omegan^2); >> Aabs=abs(G) Aabs =omegan^2/(omega^4-2*omega^2*omegan^2+omegan^4+4*zet^2*omegan^2*omega^2)^(1/2)>> [Re]=simple(real(G)) Re =(-omega^2*omegan^2+omegan^4)/(omega^4-2*omega^2*omegan^2+omegan^4+4*z et^2*omegan^2*omega^2) >> [Im]=simple(imag(G)) Im =-2*zet*omegan^3*omega/(omega^4-2*omega^2*omegan^2+omegan^4+4*zet^2*om egan^2*omega^2)>> Gang=simple(atan(Im/Re)) Gang =-atan(2*zet*omegan*omega/(-omega^2+omegan^2)) 即振荡环节的实频特性与虚频特性分别为jb a j j G nn n+=++-=222)(2)(ωωξωωωω 2222222)2()()(n n n n a ξωωωωωωω+--=,22222)2()(2*n n nn b ξωωωωξωωω+-= 还有振荡环节的幅频特性与相频特性分别为=+-==22222)2()()()(n nnj G A ξωωωωωωω2222211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n nωωξωω22212arctan 2arctan)()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=∠=nnn nj G ωωωωξωωξωωωωϕ3.在某反馈系统中，)8(5)(-=s s s G ， )0(1)(>+=n n K s K s H 。

试确定闭环系统稳定时反馈参数n K 的临界值。

解：（1）求闭环系统传递函数对应的实频与虚频特性。

其实现的程序代码如下： >> syms s g h u v;>> syms kn omega omegac real; >> s=j*omega; >> G=10/(s*(s-10)); >> H=1+kn*s; >> GH=G*H;>> U=factor(real(GH)) U =-10*(1+10*kn)/(omega+10*i)/(omega-10*i) >> v=factor(imag(GH))v =-10*(-10+omega^2*kn)/(omega+10*i)/(omega-10*i)/omega（2）当闭环系统处于临界稳定时，开环系统的频率响应()()G j H j ωω，即Nyquist 曲线将通过[()()G j H j ωω]平面上的点（-1，j0）,此时c ωω=。