每一个分支为一种传球 方案，则基本事件的总数为 8，而又回到 A 手中的事件 个数为 2 个，根据古典概型 概率公式得 P＝2/8=1/4.
例 5 有两个袋中都装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张 卡片，若从每个袋中任意各取一张卡片，求取出的两 张卡片上数字之和等于5的概率．
解 从每个袋中任意取一张卡片有36个基本事 件．其中“和等于5”的结果有(0,5)，(1,4)，(2,3)， (3,2)，(4,1), (5,0)共6个基本事件，
得 P(A)＝ππ×12122＝14，
即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为14.
例9 两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等 迟到者20分钟方可离去．如果两人出发是各自独立的 ，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问两人 相遇的可能性是多大？
在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的
次数为nA与n的比值，即
f
A(n)
nA n
3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.
4.事件的关系与运算
（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B
一定发生，则 AB（或 BA ）.
（2）相等事件： 若 AB，且 BA， 则
A=B. （3）并事件(和事件):当且仅当事件A发生或
3
（1）乙不输的概率；
（2）甲获胜的概率.
解(1)P = 1+ 1 = 5 23 6
(2)P = 1- 5 = 1 66
例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给
另两人(不自传)，若从A发球算起，经3次传球后又回
到A手中的概率是多少有可能可用树状图 方式列出：如右图．
(2)摸出的一个球为蓝球的概率． 解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”． (2)事件C与A∪B为对立事件，故摸到蓝球的概率为 P(C)＝1－P(A∪B)＝1－0.78＝0.22.
例3.甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概
率是 1 ，乙获胜的概率是 1 ，求：
2
63
(2) (1,1),(1,2),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(a,1),(a,2),(a,a)
P (B ) 4 9
例7 如图，在三角形AOB中,已知AOB=60°, OA=2，OB=5，在线段OB上任意选取一点C，求 △AOC为钝角三角形的概率.
A
OD
EC B
解P=OD+EB=2=0.4 OB 5
（2）均匀随机数：在区间[a，b]上等可能取 到的任意一个值.
12. 随机模拟方法
利用计算器或计算机产生随机数，从而获得 试验结果.
例题精讲
例1 某人捡到一个不规则形状的五面体石块，他在每 个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面朝上 的次数如下表，如果再投掷一次，请估计石块的第4面落 在桌面上的概率是多少？
石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22
解 由于投掷100次，第4面落在桌面上13次，故 其频率为＝13/100=0.13. 因此，如果再掷一次，估 计石块的第4面落在桌面上的概率是0.13.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
事件B发生时，事件C发生，则C=A∪B（或A+B）.
（4）交事件（积事件）：当且仅当事件A发生 且事件B发生时，事件C发生，则 C=A∩B（或AB）.
（5）互斥事件：事件A与事件B不同时发生， 即A∩B＝Ф.
（6）对立事件：事件A与事件B有且只有一个 发生，即A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件.
8.古典概型的概率公式
事件A所包含的基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
9.几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成比例.
10.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
11.随机数
（1）整数随机数：对于某个指定范围内的整 数，每次从中有放回随机取出的一个数.
例8 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦 长超过圆内接等边三角形边长的概率．
解 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的 边长”，如图所示，作等边三角形 BCD 的内切圆，当 以小圆上任意一点作弦时，弦长都等于等边三角形的边 长，所以当弦的中点在小圆内时，弦长超过圆内接等边
三角形的边长，小圆的半径为12，所以由几何概型公式，
必修3第三章 概率复习课
知识结构
随机事件
频率
概率的意义与性质
古典概型
概
率
的
几何概型
实 际
应
用
随机数与随机模拟
知识梳理
1.事件的有关概念
(1)必然事件： 在条件S下，一定会发生的事件. (2)不可能事件： 在条件S下，一定不会发生的事件.
(3)随机事件： 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.
2.事件A出现的频率
(2)摸出的一个球为蓝球的概率．
解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”．
(1)A与B为互斥事件，故摸到红球或黄球的概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.33＝0.78.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
5.概率的几个基本性质 （1）0≤P(A)≤1.
（2）若事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
（3）若事件A与B对立，则 P（A）＋P（B）=1.
6.基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的和.
7.古典概型
一次试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性 相等（等可能性）.
所以P＝6/36＝1/6.
例6 某三件产品中有两件正品和一件次品，每次
从中任取一件，连续取两次，分别在下列条件下，求
取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
（1）每次取出产品后不放回；
（2）每次取出产品后放回.
解 记正品为1, 2, 次品为 a (1) (1,2),(1,a),(2,1),(2,a),(a,1),(a,2) P (A ) 4 2