下面的讨论都是在阿基米德公理 成立的假设下展开的. 主要讨论实数的连续性 (也称为完备性).
现代认为, 数轴上的点与实数集合是一一对应的. 这是 因为 实数集合不但有稠密性, 而且有连续性. 实数的连续 性形象地说, 就是实数的全体把数轴填满了. 若将实数域拆分成两个均非空的集合 A 和B, 满足条件: (1) 每一个实数必落在集合A 和B 中的一个集合中, 且仅一个 集合中; (2) 集合A 中的每一个数 a 小于集合B 中的每一个数 b. 我们将这样的拆分叫做分划, 记为 A B . 集合A 称为分划的下 组, 集合B 称为上组.
(2) 数学抽象的提出. 他们认为, 从实物的数和形抽象到 数学上的数和形, 是思维的抽象, 从而把数学推向了科学. (3) 毕达哥拉斯定理. 这就是中国称之为的勾股定理.在 西方文献中一直以毕达哥拉斯命名. Δ 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 “万物皆数”学说的要点. (1) 数是世界的法则, 一切都可以归结为整数比. 毕达哥 拉斯学派 所说的数是指自然数, 即正整数, 同时还包含 它们的比, 即正分数
一件事是, 1874年德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass, 1815-1897)构造了一个点点连续但点点不 可导的函数 另一件事是, 德国数学家黎曼 (B. Riemann, 18261866)发现, 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的. 黎曼证明了被积函数不连续,其定积分也可能存在. 他还 造出一个函数, 当自变量取无理数时它是连续的, 当自变 量取有理数时它是不连续的. 魏尔斯特拉斯的贡献: 一方面是建立了关于实数系的理 论, 另一方面是创造了精确的“ε-δ” 语言来定义极限. 设函数 f(x) 在 x0 的附近有定义, 如果有一个确定的实 数 A, 对 0, 0, 使当 0 x x0 时, 恒有
罗素悖论 先给出两个术语. 设A 是一个集合. 若A 是A 中的一元, 则 集合A 称为异常集合; 若A 不是A 中的一元, 则集合A 称为 正常集合. 例如, 若 A 是所有集合的集合, 则 A 本身还是一 个集合, 于是 A 是异常集合. 又如, 若 A 是所有人的集合, 则作为集合的 A 并不是人, 于是 A 是正常集合. 罗素悖论说, 以 M 表示所有异常集合的集合, 以 N 表示 所有正常集合的集合, 于是任一集合或者属于 M 或者属于 N, 两者必居其一, 且只居其一. 试问: 集合 N 是否是正常 集合? (即 N 是否是 N 中的一元? ) 若N 是 N 中的一元, 则 N 是异常集合, 于是 N M ,从而 N N , 也就是说, N N N M N N. 若N 不是 N 中的一元, 则 N 是正常集合, 于是 N N, 也 就是说, N N N N ( N M ). 悖论在于: 无论哪一种情况, 都得出矛盾.
1 右端的 2 g t 就不能任意去掉.
s 1 gt0 g t t 2
贝克莱又说, 在推出上式时, 是假定了 t 0 才能做除 法的, 所以上式的成立是以 t 0 为前提的. 那么, 为什么 又可以让 t 0 而求得瞬时速度呢? 贝克莱还讽刺挖苦说, 既然 Δs 和Δt 都变成无穷小了, 而 无穷小作为一个量, 既不是0, 又不是非0, 那它一定是“量 的鬼魂”了! 这就是著名的“贝克莱悖论”.
如果说, 第一次数学危机的实质是, 2 不是有理数, 而是 实数; 数系需要扩充. 那么第二次数学危机的实质则是, 极 限的概念不清楚, 极限的理论基础不牢固. 虽然牛顿和莱布尼兹同时发现了微积分, 但是并未明确 极限的定义. 因而此后的一百多年间的数学家都不能满意 地解释贝克莱提出的悖论. 由于缺乏严密的极限概念和极限理论基础, 数学家在有 限与无限之间任意通行. 在 研究无穷级数时, 做出了许多 错误的证明. 例如, 他们不考虑无穷级数的收敛问题, 也照 常进行无穷级数的计算.
现代认为, 数轴上的点与实数集合是一一对应的. 这是 因为 实数集合不但有稠密性, 而且有连续性. 实数的连续 性形象地说, 就是实数的全体把数轴填满了. 数系的扩张: 自然数系—有理数系—实数系. 所谓“实数的全体把数轴填满了”, 需要建立一个严格 的实数理论, 才能解释清楚. 这将在下面讲到.
四. 数学的公理化体系
1. 实数的公理化体系 大家知道, 实数的全体 R, 按照大小关系“≦”是一个有 序的全序集(即实数中的任意两个数都可以比较大小); 关 于加法 和乘法运算成为实数域. 有序实数域 R, 满足如下的公理: 阿基米德公理 对任意两个正实数 x 和 y, 必存在自然数 n, 使得 nx >y . 这就是大家熟悉的 有序实数域 R. 阿基米德公理 的成立 也是理所当然的. 是否可以设想, 阿基米德公理 不成立的 情形? 其实,的确存在非阿基米德域. 20世纪60年代, 美国 数理逻辑学家A. Robinson 创立的非标准分析就是建立在 非阿基米德实数域上.
f ( x) A
那么称函数 f(x) 当 x 趋于 x0 时有极限 A.
应用极限的“ε-δ” 定义, 可以求出一些基本函数的极限, 推 出极限的 运算法则等. 于是, “贝克莱悖论”在历经二百年 后, 终于消除了. (请读者思考, 悖论是如何消除的.) 总之, 第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固. 柯 西的贡献在于将微积分建立在极限理论的基础上. 魏尔斯 特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数系, 建立了严格的实数 理论, 使之成为极限理论的基础. 所以, 建立数学分析( 或者 微积分)基础的“逻辑顺序”是: 实数理论—极限理论—微积 分. 这与微积分发展的”历史顺序”正好相反. 为实数理论的建立做出贡献的数学家, 除魏尔斯特拉斯 外, 还应提到狄德金(R. Dedekind) 和康托(G. Cantor)等人.
这样, 大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展 过程, 悖论消除了. 但是, 新的系统的相容性并未证明. 换句话说, 在新的系统内不知道是否还会出现新的悖论. 庞加莱(H. Poincare, 1854-1912)对这一公理化的集合 论曾形象地评论: “为了防狼, 羊群已经用篱笆圈起来 了, 但却不知道圈内有没有狼.”这句话把悖论比作狼, 把公理化集合论比作羊群, 意思是, 已经出现的悖论都 排除在新的公理化集合论之外了; 但是新的系统内部是 否还会有其它的悖论却不知道.
三. 第三次数学危机
前两次数学危机, 本质上都是对当时数学基础的质疑. 这之后, 数学家们普遍重视数学理论基础的建立. 到19 世纪, 数学已有了很大的发展. 非欧几何的出现使几何 理论更加扩展和完善; 实数理论和极限理论的出现使微 积分有了牢靠的基础; 群的理论、算术公理的出现使代 数、算术的逻辑基础更为明晰, 等等.人们自然去思索 整个数学的基础在那里? 19世纪末, 集合论出现了. 当人们致力于将全部数学 建立在集合论的基础上的时候, 罗素的“集合论悖论” 引发了第三次数学危机.
历史上的三次数学危机和 数学的公理化体系
一. 第一次数学危机
古代希腊的数学家介绍: Δ 泰勒斯(Thales of Miletus, 约公元前625-前547). 最早开创“命题证明”先河, 被誉为世界上第一位数学家. Δ 毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos, 约公元前580-前500). 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献主要有以下方面. (1) 数学证明的起始. 他们首先意识到, 证明某个命题需要 其它命题, 证明“其它命题” 则还需要别的命题, 因此总 有某些最前面的命题是无法证明的, 人们只能把它们当作 “假设”预先承认. 这样一些预先承认的“假设”被称为 “公理”和“公设”.
n . m
(2) 任意两条线段a 和b 都是“可公度的”. 所谓两条线段 a 和b可公度, 是指它们一定有公共的度量单位t, 使得a 和b 的长度都是 t 的长度的整数倍.
2与第一次数学危机
对毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说产生冲击的, 正是 毕达哥拉斯学派的一个成员的发现. 用现在的语言就是, 2 不能表示为整数比, 或者说 2 不是有理数. 数系的扩张– 危机的彻底解决. 第一次数学危机的彻底解决, 依赖于数系的扩张. 直到人 类认识了实数系, 这次数学危机才算彻底解决, 这已经是两 千多年以后的事情了. 数轴. 古代认为, 数轴上的点与有理数集合是一一对应的. 这是有理数集合的稠密性给人们造成的误解.
罗素的悖论的叙述较为繁杂, 罗素悖论的一个通俗解释 叫做“理发师悖论”: 某村的一个理发师宣称, 他给且只给 村里自己不给自己刮脸的人刮脸. 试问: 理发师是否给自己 刮脸? 如果他给自己刮脸, 他就属于自己给自己刮脸的人, 按 宣称的原则, 理发师不应该给自己刮脸, 这就产生矛盾. 如果他不给自己刮脸, 他就属于自己不给自己刮脸的人, 按宣称的原则, 理发师应该给自己刮脸, 这又产生矛盾. 于是, 无论哪一种情况, 都得出矛盾.
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪. 由并 非数学家的贝克莱大主教对牛顿“无穷小量”说法提出质 疑而引起的. 先看下面的例子. 自由落体运动的瞬时速度问题. 如图, 1 s gt 2 , 求物体在时刻 tt0 ) g [2t0 t ( t ) 2 ] 2
第二次数学危机的解决 到19世纪, 一批杰出的数学家辛勤地工作, 终于逐步建 立了严格的极限理论, 并把它作为微积分的理论基础. 值 得提出的数学家有: 波尔查诺 (捷克数学家, B. Bolzano, 1781- 1848). 柯西 (法国数学家, A.L. Cauchy, 1789-1857). 他在18211823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数 学史上划时代的著作. 他给出了极限比较精确的定义, 然 后用它定义了连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收 敛性, 这些已与我们现在的教科书上的叙述差不多了. 他 可称为分析学的奠基人. 下面两件事表明, 极限概念、连续性、可导性和收敛性 对实数系的依赖比人们的想象深得多.