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%山西师大临汾学院
陈云波
古希腊到现代 # 数学的基础曾受到三次危 ! 无穷小计算讲义 " 中给出了数学分析一系列基本概 念的精确定义 $ 例如 ’ 他给出了精确的极限定义 # 然后 用极限定义连续性 * 导数 * 微分 # 定积分和无穷级数的 收敛性 # 接着魏尔斯特拉斯及其追随者们实现了分析 的算术化 $ 这时 # 人们认为 # 数学基础的第二次危机已 经克服 # 数学的整个结构已被恢复 $ 数学建立在无懈 可击的基础上了 $ 到了 %- 世纪末 # 康托尔的集合论已经得到数学家 们的承认 # 集合论成功地应用到了其他的数学分支 # 集 合 论 是 数 学 的 基 础 #由 于 集 合 论 的 使 用 #数 学 似 乎 已经达到了, 绝对的严格 ) # 但是 # 正当人们兴高采烈 时 # 数学王国的大地爆发了又一次强烈的地震 $ 数学基础的第三次危机是在 %3-. 年突然出现的 # 这次危机是由于康托尔的一般集合论的边缘发现的 悖论造成的 # 因为那么多数学分支都建立在集合论的 基础上 # 所以集合论中悖论的发现自然引起了对数学 的整个基本结构的有效性的怀疑 $ 康 托 尔 曾 证 明 了 #对 于 任 意 给 定 的 超 限 数 #总 存 在一个比它大的超限数 # 所以不存在最大的超限数 $ 现在考虑这样一个集合# 它的元素是所有可能的集 合 #肯 定 地 #没 有 一 个 集 合 所 含 的 元 素 个 数 比 这 个 集 合多 $ 但是 # 如果这样 # 怎么可能有一个超限数比这个 集合的超限数大呢 康托尔悖论用到集合论的深入结果 # 但英国数学 家罗素发现了一个悖论 # 它除了集合概念本身外不需 要 别 的 概 念 #罗 素 悖 论 的 内 容 是 #如 果 用4表 示 是 它 们本身的成员的所有集合 的 集 合 # 而 用 5 表 示 不 是 它 们 本 身 成 员 的 所 有 集 合 的 集 合 #那 么 #集 合5是 否 它 本身的成员 . 如 果 5 是 它 本 身 的 成 员 # 则 5 是 4 的 成 员 #而 不 是5的 成 员 #于 是5不 是 它 本 身 的 成 员 #而 如 果5不 是 它 本 身 的 成 员 #则5是5的 成 员 #而 不 是 4的 成员 # 于是 5 是它本身的成员 # 无 论 何 种 情 况 # 我 们 都 将得到矛盾 / 罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦 # 这样就 出现了数学史上第三次教学危机 $ 第三次危机使数学家们意识到 # 应当建立某种公 理系统来对集合论作出必要的规定 # 以排除罗素悖论 和其他悖论 # 于是不久就出现了好几种公理系统 $ 时 至今日 # 第三次数学危机从整体看来还没有解决到令 人满意的程度 $ % 责任编辑 刘永庆 & 0 !" 0
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从
机的困扰 # 每一次都是大部分被人们认为 确凿无疑的数学受到质疑 # 并且必须改造 $ 数 学 基 础 的 第 一 次 危 机 பைடு நூலகம் 生 在 公 元 前$世 纪 #当 时希腊论证数学的祖师之一毕达哥拉斯在希腊建立 了一个秘密会社 #也就是今天所称的毕达哥拉斯学派 $ 毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示成两个 整数之比% 即某个有理量 & # 这在几何上相当于 ’ 对于 任意给定的两条线段 $ 总能找到第三条线段 # 以它为 单位线段能将给定的两条线段划分为整数线段 # 希腊 人 称 这 样 两 条 给 定 线 段 为( 可 公 度 量 ) # 意 即 有 公 共 的度量单位 # 然而毕达哥拉斯学派后来发现并不是任 意两条线段都是可公度的 # 存在着不可公度的线段 # 例如边长为 % 的正方形的对角线和其一边就构不成可 公 度 线 段 #也 就 是 说 # ! ! 不 是 两 个 整 数 之 比 #不 是 有理数 $ 大约一个世纪以后 # 数学家欧多克斯提出了新比 例理论 ’ 设 & *’ *( *) 是 任 意 四 个 量 # 其 中 & 和 ’ 同 类 #% 即 均为线段 * 角 * 面积等 & #( 和 ) 同类 $ 如果对于任意两 个 正 整 数 * 和 + # 关 系 *& "+’ 是 否 成 立 # 相 应 地 取 决 于关系*,#+)是否成立#则称&与’之比等于(与)之比$ 这一定义并未限制汲及的量是可公度的还是不 可公度的 # 从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦 # 但 是 危 机 的 根 本 解 决 # 是 在 %- 世 纪 # 人 们 借 助 极 限 概 念 对无理数作出严格定义之后 $ 这次危机的产生和解决 大大推动了数学的发展 $ 数 学 基 础 的 第 二 次 危 机 是 %. 世 纪 随 着 牛 顿 和 莱 布尼兹发现微积分而产生的 $ 在微积分的发展过程中 # 一方面是成果丰硕 # 另 一方面是基础的不稳固 # 出现了越来越多的谬论和悖 论 $ 数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机 $ 例 如为了求幂 / 的流数 $ 牛顿假设 / 有一个增量 $0 # 并 以 它 去 除 / 的 增 量 得 +/ 2
% +1% & +1! + / $02 ++ 然 !
+1%
后又让 $0 , 消失 ) 得到 / 的流数 +/
# 这里关于增量
$0 的假设前后矛盾 # 不合逻辑 $
为了补救第二次数学危机 # 数学家们开始在严格 化基础上重建微积分 # 其中贡献最大者首推法国数学 家 柯 西 # 他 写 出 了 一 系 列 著 作 # 他 在! 分 析 教 程 " 和