最 大 中 心 角／°
最 大 拱 端 厚／ｍ
顶拱中轴线拱 冠 曲 率 半 径／ｍ
厚高比
最大倒 悬度
上游面 下游面
坝体混凝土工程量 ／１０４ ｍ３
最终采用坝型
１００．３ １００．０ ９９．４ ９７．５ １００．０ ９９．８ ６８．０ ６５．５ ５５．０ ６５．３ ６７．６ ６７．６ ４１９．２ ４０８．２ ２４７．２ ３１９．９ ３０９．８ ２０４．９ ０．２７２ ０．２６２ ０．２１３ ０．２６１ ０．２６９ ０．２７０ ０．１８９ ０．１４０ ０．１２８ ０．１１２ ０．１６３ ０．１６７ ０．１４８ ０．１３０ ０．１２０ ０．１０７ ０．０６５ ０．０６７
２ ３６０．０ 拱冠
２ ２４０．０ ２ ４６０．０ 右岸拱端 左岸拱端
２ ２４０．０ 拱冠
－ ０．５９
２ ３６０．０ 拱冠
ＫＥＹ ＷＯＲＤＳ： ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｓｐｉｒａｌ ｌｉｎｅ； ｎａｔｕｒａｌ ｌａｗ； ａｒｃｈ ｄａｍ； ａｒｃｈ ｌｏｏｐ
摘要： 介绍了对数螺旋线的相关知识， 及其在自然界中尤其 是在水利工程中的运用。在分析对数螺旋型拱坝的基础上， 给出黄河拉西瓦对数螺旋双曲拱坝体型优化的实例， 结果表 明： 拱圈线型采用对数螺旋线型的坝体较其他二次曲线（ 单 心 圆 、多 心 圆 、抛 物 线 、椭 圆 、双 曲 线 ） 的 拱 坝 在 节 省 工 程 量 ， 改善坝体应力分布及坝肩稳定性等方面都有较大的优势与 潜力。
对数螺旋线在水利工程中的运用， 如在混凝土 或浆砌石拱坝的设计中， 把拱圈的形式设计成对数 螺旋形式。通常情况下采用这种拱圈线型的坝体较 其他二次曲线（ 单心圆、多心圆、抛物线、椭圆、双曲 线） 的坝体具有较大的优势与潜力［１］。
３ 对数螺旋型拱坝
我国是修建拱坝最多的国家， 对数螺旋双曲拱
坝 （ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ Ｓｐｉｒａｌ Ｄｏｕｂｌｅ－ Ｃｕｒｖｅｄ Ａｒｃｈ Ｄａｍ） 可
程中推广应用。对数螺旋型拱坝在减少坝体工程
量、改 善坝 体 应 力 分 布 、增 加 坝 肩 稳 定 的 安 全 度 等
方面具有较强的优势， 也越来越引起人们的重视和
研究。
对数螺旋曲线方程可以用极坐标表示为
ρ＝αｅｋφ
（ ２）
式中： α—长度参数；
ｋ—指数参数；
ρ—极半径；
φ—极角；
ｅ—自然对数的底。
对数螺旋线双曲拱坝是一种比较优越的坝型。 在 建 的 黄 河 上 游 高 达 ２５０ ｍ的 拉 西 瓦 拱 坝 （ 变 厚 拱） ， 选择的就是对数螺旋型双曲拱坝。拉西瓦拱坝 在体型优化设计时， 研究了两类６种水平拱圈的双 曲拱坝体型。第一类为圆弧拱体型， 水平拱圈形状 分别为 双 心 圆 弧 、三 心 圆 弧 ； 第 二 类 为 非 圆 弧 拱 体 型， 水平拱圈的形状分别为对数螺旋线、抛物线、椭 圆、双曲线。６种拱型优化设计所得的主要几何特征 值、坝 面 主 应 力 控 制 值 、拱 圈 推 力 角 平 均 值 等 见 表 １～３所示。
关键词： 对数螺旋线；自然律；拱坝； 拱圈
０ 引言
主 要 看 在 一 定 的 外 部 条 件 下 坝 体 应 力 分 布 状 态 、拱 端推力角、坝肩稳定性、抗震性能、坝体强度、坝体工 程量和施工条件等诸方面是否有利［１］。对数螺旋线以 其独特的优势， 在拱圈线型的选择中得以采用。
１ 对数螺旋线
螺旋线是一种迷人的曲线， 它的特性可以从与 圆的比较中感受一二。圆是一条封闭的曲线， 其长 是有限的， 其上每一点到圆心的距离相等， 每一点 处的切线都与这一点与圆心的连线相垂直。而螺旋 线是一条开放的曲线， 它可以不断地绕下去， 其长 是无限的， 其上的点到它始点的距离两两不同， 每 一点处的切线与这一点与始点的连线不垂直， 而形 成一个钝角， 不同的点处所形成的角未必相等。如 果螺旋线上的每一点处所形成的角都相等， 则称这 样的螺旋线为等角螺旋线或对数螺旋线。对数螺旋 线可以通过陆续产生黄金矩形的过程而产生， 如图 １ 所 示［２］。
在拱坝体型设计中， 拱圈中轴线线型的选择，
图１ 对数螺旋线几何绘图
结构工程
Ｓ ｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅ ｅ ｒｉｎｇ
第 ２４ 卷 第 ３ 期
电网与水力发电进展
６７
为了讨论方便， 把ｅ或由ｅ经过一定变换和复合
的形式定义为“自然律”。ｅ是“自然律”的精髓， 是一
个无限不循环数， 在数学上它是以下函数
结构工程
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第 ２４ 卷 第 ３ 期 ２００８ 年 ３ 月
电网与水力发电进展 Ａｄｖａｎｃｅｓ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ ＆ Ｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
文章编号： １６７４－ ０００９（ ２００８） ０３－ ００６６－ ０４
中图分类号： ＴＶ６４２．４
２３９．７ ２１６．５ ２２０．９ ２２２．０ ２３４．０ ２５３．０ 未采用 未采用 采用 未采用 未采用 未采用
表２ ６种拱坝优化体型的坝面主应力控制值
坝型
工况一
最大主压应力
最大主拉应力
上游面 下游面 上游面 下游面
施工期最 大拉应力
数值 ７．４６ ７．８４ － １．０１ － １．０８
双心圆
位置
ＺＨＯＵ Ｗｅｉ１， ＹＥ Ｌｉｎ１， ＬＩ Ｐｕ－ｊｉａｎ２， ＳＯＮＧ Ｗｅｉ－ｆｅｎｇ１
（ １．Ｘｉ"ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｘｉ"ａｎ ７１００４８， Ｃｈｉｎａ； ２．Ｎｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｈｙｄｒｏ Ｃｏｎｓｕｌｔｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ， Ｘｉ"ａｎ ７１００６５， Ｃｈｉｎａ）
以说是拱坝大家族中最年轻的成员。已经建成的有
山西绛县陈村峪单曲拱坝， 湖北恩施龙洞双曲拱
坝， 贵州省仁怀市盐津桥砌石双曲薄拱坝， 福建省
寿宁县坑兜砌石双曲薄拱坝等； 在建的有黄河上游
青海拉西瓦双曲拱坝（ 变厚拱） 。随着拱坝设计水平
的提高和计算机应用技术的普及， 各种适应地形、
地质条件的复杂曲线型拱坝得以在中小型水利工
ｘ
! " ｆ（ｘ）＝
１＋
１ ｘ
（ １）
当ｘ趋 近 于 无 穷 时 ， ［１＋（１／ｘ）］ｘ的 极 限 就 等 于 ｅ，
它是个无限不循环小数， 其值约等于２．７１８ ２８……
人们在研 究 一 些 实 际 问 题 时 ， 如 物 体 的 冷 却 、细 胞
的繁殖、放射性元素的衰变等， 都要研究ｅ。正是这
种从无限变化中获得的有限， 从两个相反方向发
关于应力方面， 由于对数螺旋线拱圈扁平化程 度较高， 其拱圈半中心角一般较小， 当拱中心线顺 延后， 顺延侧拱端应力有所减小。由此可见， 对数螺 旋型拱坝在减少工程量， 改善坝体应力分布， 增加 坝肩稳定方面有着明显成效。同时其对边界条件的 要求， 在设计与实际之间的适应程度也相应减小， 这 对 基 础 开 挖 的 调 整 是 较 为 有 利 和 方 便 的［４］。
５种： （ １） 对数螺旋线； （ ２） 阿基米德螺旋线； （ ３） 连锁
螺旋线； （ ４） 双曲螺旋线； （ ５） 回旋螺旋线。
２ 对数螺旋是自然的优选
对数螺旋线在自然界中最为普遍存在， 其他螺 旋线也与对数螺旋线有一定的关系， 不过目前我们 仍未找到螺旋线的通式。
许多贝壳都很接近对数螺旋线的形状， 象鼻、 蜘蛛网的结构、动物的角与毛等都呈对数螺旋线 形。在植物中， 车前草的叶片也是螺旋状排列， 其间 夹角为１３７°、３０°、３８°， 这样的叶序排列， 可以使叶片 获得最大的采光量， 且得到良好的通风。向日葵、菠 萝与雏菊上的螺纹也都呈对数螺旋线形。在工业生 产中， 把抽水机的涡轮叶片的曲面做成对数螺旋线 的形状， 抽水就均匀。在农业生产中， 把轧刀的刀口 弯曲成对数螺旋线的形状， 它就会按特定的角度来 切割草料 ， 又快又好 ； 在 机 械 上 的 螺 杆 、螺 帽 、螺 钉 和日常用品的螺丝扣等， 做成螺纹状能使受力更 好， 经久耐用。
的变化， 并随φ的增大而迅速变小， 即对数螺旋型曲
结构工程
Ｓ ｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅ ｅ ｒｉｎｇ
６８
周 伟等： 对数螺旋线与对数螺旋型拱坝研究
Ｖｏｌ．２４ Ｎｏ．３
线 拱 圈 在 坝 肩 部 位 的 曲 率 半 径 将 随 φ的 增 加 而 迅 速 变大， 其曲率将迅速变小而使拱圈在拱端位置趋于 平缓。根据这一特性， 当坝肩地质出现变化而增加 开挖深度时， 其拱圈直接向新的建基面延伸， 不会 造成拱端与基础等高线交角过小， 而产生坝肩不稳 定， 甚至拱中心线与基础等高线不能相交等一系列 问题。同时， 由较小的角度增量Δφ可以得到较大的 弦长增量， 不至于使拱端推力角急剧变小， 可尽量 减 少 体 型 参 数 调 整 数 量 以 方 便 调 整 设 计［３］。
ｄｓ＝#１＋ｋ２ ρｄφ
（ ４）
任意一点的曲率半径
Ｒ＝ｄｓ／ｄφ＝#１＋ｋ２ ρｄφ／ｄφ＝#１＋ｋ２ ρ
（ ５）
相应的曲率为
ω＝１／Ｒ＝ １ ＝ １ ｅ－ｋφ
（ ６）
#１＋ｋ２ρ #１＋ｋ２
曲率公式表明： 对数螺旋线上的曲率ω与该点
的极半径ρ成反比关系， ρ为φ的指数函数， 故ρ随φ的
变化将发生迅速的变化； 因此ω随φ一般也有着迅速
螺旋线这个名词来源于希腊文， 它的原意是 “旋卷”或“缠卷”。在二千多年以前， 古希腊数学家 阿基米德就对螺旋线进行了研究。著名数学家笛卡 尔于１６８３年首先描述了对数螺旋线， 并且列出了螺 旋 线 的 解 析 式 。 后 来 以 瑞 士 数 学 家 雅 各·伯 努 利 的 成果最为丰硕。他发现将等角螺旋线作某些变换 时， 所得的曲线仍是全等的等角螺旋线。
表１ 拉西瓦拱坝坝型优化主要几何特征表