动态规划之-0-1背包问题及改进有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

在选择装入背包的物品时，对于每种物品i，只能选择装包或不装包，不能装入多次，也不能部分装入，因此成为0-1背包问题。

形式化描述为：给定n个物品，背包容量C >0,重量第i件物品的重量w[i]>0, 价值v[i] >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(X1,X2,…,X n,), X i∈{0,1}, 使得∑（w[i] * Xi）≤C,且∑ v[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

数学描述为：求解最优值：设最优值m(i,j)为背包容量为j、可选择物品为i，i+1，……，n时的最优值(装入包的最大价值)。

所以原问题的解为m(1，C)将原问题分解为其子结构来求解。

要求原问题的解m(1，C)，可从m(n，C)，m(n-1，C)，m(n-2，C).....来依次求解，即可装包物品分别为（物品n）、（物品n-1，n）、（物品n-2，n-1，n）、……、（物品1，物品2，……物品n-1，物品n）。

最后求出的值即为最优值m(1，C)。

若求m(i,j)，此时已经求出m(i+1,j)，即第i+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。

对于此时背包剩余容量j=0,1,2,3……C，分两种情况：(1)当w[i] > j，即第i个物品重量大于背包容量j时，m(i,j)=m(i+1,j)(2)当w[i] <= j，即第i个物品重量不大于背包容量j时，这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。

若不放入物品i，则此时m(i,j)=m(i+1,j)若放入物品i，此时背包剩余容量为 j-w[i]，在子结构中已求出当容量k=0,1,2……C 时的最优值m(i+1,k)。

所以此时m(i,j)=m(i+1,j-w[i])+v[i]。

取上述二者的最大值，即m(i,j) = max{ m(i+1,j)，m(i+1,j-w[i])+v[i] }总结得出状态转移方程为：该算法的python代码实现：1 # 0-1背包问题2__author__ = 'ice'345 # 背包容量0~capacity,不是0~capacity-16def knapsack(weight, value, capacity):7if len(weight) != len(value):8print("parameter err!")9return10 obj_num = len(weight)11 result = [[] for x in range(obj_num)]12 divide = min(weight[-1], capacity)13 result[-1] = [0 for x in range(divide)]14 result[-1].extend(value[-1] for x in range(divide, capacity + 1))15for i in reversed(list(range(1, obj_num - 1))):16 divide = min(weight[i], capacity)17for j in range(divide):18 result[i].append(result[i + 1][j])19for j in range(divide, capacity + 1):20 result[i].append(max(result[i + 1][j], result[i + 1][j - weight[i]] + value[i]))2122 result[0] = {capacity: result[1][capacity]}23if weight[0] <= capacity:24 result[0][capacity] = max(result[1][capacity], result[1][capacity - weight[0]] + value[0])2526 vector = [0 for x in range(obj_num)]27 capacity_temp = capacity28for i in range(obj_num - 1):29if result[i][capacity_temp] != result[i + 1][capacity_temp]:30 vector[i] = 131 capacity_temp -= weight[i]3233if capacity_temp == 0:34 vector[-1] = 035else:36 vector[-1] = 13738return {'total_value': result[0][capacity], 'select': vector}但是,该算法有两个明显的缺点：1，基于上述代码，因为数组索引的需要，要求所给物品重量为整数。

2，当背包容量C很大时，算法所需计算时间较多。

当C>2^n时，需要Ω(n*2^n)计算时间。

所以,改进算法如下：对于函数m(i,j)的值，当i确定，j为自变量时，是单调不减的跳跃式增长，如图所示。

而这些跳跃点取决于在（物品i，物品i+1，……物品n）中选择放入哪些物品使得在放入重量小于容量 j (0<=j<=C)的情况下m取得最大值。

对于每一个确定的i值，都有一个对应的跳跃点集P i={ (j,m(i,j))，……}。

j始终小于等于C(1)开始求解时，先求P i，初始时P n+1={(0，0)}，i=n+1，由此按下列步骤计算P i-1，P i-2……P1，即P n，P n-1，……P1(2)求Q i，利用P i求出m（i，j-w[i-1]）+v[i-1]，即P i当放入物品i-1后的变化后的跳跃点集Q i={ ( j+w[i-1], m(i,j)+v[i-1] )，……}，在函数图像上表现为所有跳跃点横轴坐标右移w[i-1]，纵轴坐标上移v[i-1]。

(3)求P i-1，即求P i∪Q i然后再去掉受控跳跃点后的点集。

此处有个受控跳跃点的概念：若点(a,b)，(c,d)∈Pi∪Qi，且a<=c，b>d，则(c,d)受控于(a,b)，所以(c,d)∉P i-1。

去掉受控跳跃点，是为了求得在物品i-1放入后m较大的点，即使m取最优值的跳跃点。

由此计算得出P n，P n-1，……，P1。

求得P1的最后那个跳跃点即为所求的最优值m(1,C)。

举个例子n=5，c=10，w={2，2，6，5，4}，v={6，3，5，4，6}。

跳跃点的计算过程如下：初始时p[6]={(0,0)}因此，q[6]=p[6]⊕(w[5],v[5])={(4,6)}p[5]={(0,0),(4,6)}q[5]=p[5]⊕(w[4],v[4])={(5,4),(9,10)}p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)} p[5]与q[5]的并集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4,6)。

将受控跳跃点(5,4)清除后，得到p[4]q[4]=p[4]⊕(6，5)={(6，5)，(10，11)}p[3]={(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)}q[3]=p[3]⊕(2，3)={(2，3)，(6，9)}p[2]={(0，0)，(2，3)，(4，6)，(6，9)，(9，10)，(10，11)}q[2]=p[2]⊕(2，6)={(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}p[1]={(0，0)，(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}p[1]的最后的那个跳跃点(8,15)即为所求的最优值，m(1,C)=15最后，python代码的实现：1class Point:2def__init__(self, x, y):3 self.x = x4 self.y = y567# 0-1背包问题改进8def knapsack_improve(weight, value, capacity):9if len(weight) != len(value):10print("parameter err!")11return12 obj_num = len(weight)13 jump_points_p = [[] for x in range(obj_num)]14 jump_points_q = [[] for x in range(obj_num)]15 jump_points_p.append([Point(0, 0)])16 jump_points_q.append([Point(weight[obj_num - 1], value[obj_num - 1])])17for i in reversed(list(range(1, obj_num))):18 jump_points_p[i] = merge_points(jump_points_p[i + 1], jump_points_q[i + 1])19 jump_points_q[i] = [Point(point.x + weight[i - 1], point.y + value[i - 1]) for point in jump_points_p[i] if20 point.x + weight[i - 1] <= capacity]21 result = merge_points(jump_points_p[1], jump_points_q[1])22return result232425def merge_points(points_x, points_y):26 x_len = len(points_x)27 y_len = len(points_y)28 merged_points = []29 i = j = 030while True:31if i == x_len or j == y_len:32break33if points_x[i].x < points_y[j].x:34 merged_points.append(points_x[i])35if points_x[i].y >= points_y[j].y:36 j += 137 i += 138else:39 merged_points.append(points_y[j])40if points_y[j].y >= points_x[i].y:41 i += 142 j += 143while i < x_len:44if points_x[i].x > merged_points[-1].x and points_x[i].y > merged_points[-1].y:45 merged_points.append(points_x[i])46 i += 147while j < y_len:48if points_y[j].x > merged_points[-1].x and points_y[j].y > merged_points[-1].y:49 merged_points.append(points_y[j])50 j += 151return merged_points525354 result = knapsack_improve([2, 2, 6, 5, 4], [6, 3, 5, 4, 6], 10)55print()56for point in result:57print('(' + str(point.x) + ',' + str(point.y) + ')', end='')5859#(0,0) (2,6) (4,9) (6,12) (8,15)。