1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---%[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩%()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=%4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案4 解 梯形公式()()()2bab af x dx f a f b -≈⎡+⎤⎣⎦⎰应用梯形公式得101111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰辛卜生公式为确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案故()()()()40333hhh hf x dx f h f f h -=-++⎰具有三次代数精确度。

1．设3201219(), , 1, 44f x x x x x ====（1）试求()f x 在19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式计算题1.答案1、（1）()3214263233122545045025x x x x H =-++-（2）()522191919()(1)(),()(,)4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？计算题3.答案4．推导常微分方程的初值问题00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩的数值解公式：'''1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++（提示：利用Simpson 求积公式。

）计算题4.答案(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式1123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。

计算题4.答案三、计算题（70分）1.（10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的二次插值基函数l 1(x )=( )，]4,3,0[f =( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得=')4(f ( ).计算题1.答案3. （15分）确定求积公式)5.0()()5.0()(111Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰- 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案4. （15分）设初值问题 101)0(23<<⎩⎨⎧=+='x y yx y .(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解21,y y ，保留两位小数。

计算题4.答案5. （15分）取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数xe y -=在区间]1,0[上的二次插值多项式)(2x P ，并估计误差。

计算题5.答案5．)5.0)((15.015.01)0(5.01)(5.05.015.02--------+---+=----xxeeexeexp=1+2()5.0()12(2)15.015.0-+-+----xxeexe[](!3)()(,1max,21,0''3''-'''=-==-=∈-xxfxpeyMey xxxξ时10≤≤∴x，)1)(5.0(!31)(2--≤-xxxxpe x二、计算题1、已知函数()y f x=的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x，并计算13()2P=的近似值。

计算题1.答案解：差商表由牛顿插值公式：323332348()()21,331411813()()2()()12232232p x N x x x xp==-++≈=-++=2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1h=，1,(0,0.6)(0) 1.y y xxy'=-++⎧∈⎨=⎩。

计算题2.答案解：1(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.n n n nkf x y y x y hy y x y nyyη+=-++====++-===L3、（15分）确定求积公式012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h-≈-++⎰。

中待定参数iA的值(0,1,2)i=，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

计算题3.答案解：分别将2()1,,f x x x=，代入求积公式，可得02114,33A A h A h===。

令3()f x x=时求积公式成立，而4()f x x=时公式不成立，从而精度为3。

求它的拟合曲线（直线）。

计算题4.答案解：设y a bx=+则可得515311555105.5a ba b+=⎧⎨+=⎩于是 2.45, 1.25a b==，即 2.45 1.25y x=+。

1、（10分）已知数据如下：求形如bxay+=1拟合函数。

计算题1.答案解：55552111111,,9,17.8,16.971,35.9025916.971917.835.39022.05353.026512.05353.0265ii i i ii i i ia bx z z a bxy yx x z z xababyx=====+==+====⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-⎧⎨=⎩=-+∑∑∑∑令则解此方程组得拟合曲线为2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()L x计算sin0.34。

插值节点和相应的函数值如下表。

计算题2.答案3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2h =,(0,0.8)(0) 1.y y x x y '=+⎧∈⎨=⎩。

计算题3.答案解：4、（15分）已知012113,,,424x x x === (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120x dx⎰。

计算题4.（1）答案 计算题4.（2）&（3）答案二、计算题1).（15分）设3201219(),,1,44f x x x x x ====（1）试求()f x 在19[,]44上的三次Hermite 插值多项式()H x 使满足()(),0,1,2,... '()'()j j H x f x j H x f x ===, ()H x 以升幂形式给出。

（2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式（1）32142632331()25545045025H x x x x =-++-（2）522191919()()(1)(),()(,)4!164444R x x x x x ζζζ-=---=∈所具有的代数精确度.计算题3.答案令2()1,,f x x x =代入公式精确成立，得122312023A B h hA Bx h A Bx h ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪+=⎩； 解得1131,,322x h B h A h ===，得求积公式 1()[()3()]23h h h f x dx f h f h -≈-+⎰。