任意角的概念和弧度制一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分)1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( )A．α＋β＝π B．α－β＝π2 C．α－β＝π2＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π3.已知α为第二象限的角，则π－a2所在的象限是 ( )A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限4.集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( )A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( )A． 1 B． 4 C．Π D． 1或46.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( )A． 1 B． 2 C． 3 D．127.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( )A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a2)的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )A ． 3∶4B ． 2∶3C ． 1∶2D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z }D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )A ． －α为第二象限角B ． 180°－α为第二象限角C ． 180°＋α为第一象限角D ． 90°＋α为第四象限角二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________.13.若角α的终边与角85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________.三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方向旋转30°到OD位置，求∠AOD的大小．17.设时钟的时针在2点和3点之间，时针和分针什么时候重合？18.如果钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针的周期和角速度各是多少？分针与秒针的角速度之比为多少？角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值.19.若角α的终边与a320.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？21.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？是第几象限角？22.已知α是第三象限角，则a323.已知α是第二象限角，试确定2α，a的终边所在的位置.224.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．25.已知角β的终边在直线√3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．26.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．27.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0°＜θ＜180°)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值.29.如图，一长为√3dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为a，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面6积.(圆心角为正)的终边所在位置.30.若α是第二象限角，试分别确定a3答案解析1.【答案】D【解析】从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针．②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针．③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针．综上，共4次．2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.3.【答案】D【解析】由2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z.得kπ＋π4＜a2＜kπ＋π2，k∈Z.∴－kπ－π2＜－a2＜－kπ－π4，k∈Z.∴－kπ＋π2＜π－a2＜－kπ＋34π，k∈Z.当k为偶数时，令k＝－2m，m∈Z，则2mπ＋π2＜π－a2＜2mπ＋34π，m∈Z.∴π－a2为第二象限角.当k为奇数时，令k＝－2m＋1，m∈Z，则2mπ－π2＜π－a2＜2mπ－π4，m∈Z.∴π－a2为第四象限角.综上所述，π－a2为第二或第四象限角.4.【答案】C【解析】当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.5.【答案】D【解析】设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6−2aa，因为扇形的面积为2，所以12(6－2x )x ＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1. 6.【答案】B【解析】设圆心角为α，半径为r ，则l ＋2r ＝16，∴l ＝16－2r .∴S ＝12lr ＝－r 2＋8r (0＜r ＜8)，当且仅当r ＝4时，扇形的面积取最大，此时l ＝16－2r ＝8.∴圆心角α为2. 7.【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据题意得，2r ＋l ＝10，①12lr ＝4，②解由①②组成的方程组得，r ＝4，l ＝2或r ＝1，l ＝8(舍去).即扇形的半径为4 cm. 8.【答案】B【解析】设⊙O 与扇形相切于点A ，B ，则AO ＝r ，CO ＝2r ，∴∠ACO ＝30°，∴扇形的圆心角为60°＝a3，∴扇形的面积为12·a 3·3r ·3r ＝32πr 2，∵圆的面积为πr 2，∴圆的面积与该扇形的面积之比为2∶3.9.【答案】D【解析】终边为x 轴的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边为y 轴的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，设终边为坐标轴的角的集合为S ，则S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }．10.【答案】D【解析】∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴a 3·360°＜a 3＜a3·360°＋30°. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°＜a 3＜m ·360°＋30°，∴角a 3的终边落在第一象限.当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°＜a 3＜m ·360°＋150°，∴角a 3的终边落在第二象限. 当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°＜a 3＜m ·360°＋270°， ∴角a3的终边落在第三象限，故选D. 11.【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k ＋180°＜α＜360°·k ＋270°；则360°·k ＋90°＜－α＜360°·k ＋180°，360°·k ＋270°＜180°－α＜360°·k ＋360°此时为第四象限角． 12.【答案】2点32811分或者2点54611分【解析】当分针在时针前面时，设转成120°的时间为x ，则(6－12)x ＝60＋120，∴x ＝36011＝32811. 当时针在分针前面时，设转成120°的时间为y ，则(6－12)y ＝60＋120＋120，解得y ＝60011＝54611； 所以2时和3时之间时针与分针成120°的时间为2点32811分或者2点54611分. 13.【答案】2a 5，9a 10，7a 5，19a 10【解析】由题意得α＝8a 5＋2k π，∴a 4＝2a 5＋aa2(k ∈Z ). 令k ＝0,1,2,3,得a 4＝2a 5,9a 10,7a 5,19a10. 14.【答案】100【解析】P 到圆心O 的距离OP ＝√52−32＝4(cm)，又P 点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，∴弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm). 15.【答案】(2+√2)π2【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为a 3， 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次， 设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ， 则A 1＝a 6×|AB |＝a 6，A 2＝a6×|AC |＝√2a 6，A 3＝a 6×|DA |＝a6， A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3(A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝2+√22π. 16.【答案】∠AOB ＝－100°，∠BOC ＝270°，∠COD ＝－30°，所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝－100°＋270°＋(－30°)＝140°. 【解析】17.【答案】设2点x 分时针和分针重合，相对于0点分针成6x 度，时针成(2+a60)·30度，则 (2+a60)·30＝6x ，故x ＝101011. 【解析】18.【答案】∵钟表的指针都做匀速转动，∴钟表上分针转动一周，需要1个小时，1小时后重复出现，即周期为1小时.∵分针转动一周是2π弧度，所花时间是3 600 s. ∴钟表上分针的角速度为a1800(rad/s). ∵秒针转动一周是2π弧度，所花时间是60 s ， ∴钟表上秒针的角速度为a 30rad/s. 故分针与秒针的角速度之比为160. 【解析】19.【答案】如图，设a 3角的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB,则以OB 为终边的一个角为a4−(a3−a4)=a 6，所以以OB 为终边的角的集合为{a |a＝2a π+a6,a ∈a }.又因为α∈(－2π，2π)，所以－2π＜2k π＋a 6＜2π，且k ∈Z ， 所以k ＝－1或k ＝0.当k ＝－1时，α＝－11a6；当k ＝0时，α＝a6.所以角α的值为－11a 6或a6. 【解析】20.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝aa ＝40−2×1010rad ＝2 rad ， ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 【解析】21.【答案】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝a 3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10a3(cm). S 弓＝S 扇－S △＝12×10a 3×10－12×10×10×sin a 3＝50(a 3+√33)(cm 2). (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝a −2aa， ∴S 扇＝12αR 2＝12·a −2a a·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(a −a4)2＋a 216.当且仅当R ＝a4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是a 216.【解析】22.【答案】∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°＜a3＜90°＋k ·120°(k ∈Z ).当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°＜a3＜90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a 3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°＜a 3＜210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a3是第三象限的角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°＜a3＜330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a3是第四象限的角.∴a3是第一、三、四象限的角.【解析】23.【答案】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上. 因为k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°＜a 2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋ 45°＜a 2＜n ·360°＋90°，即a 2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°＜a 2＜n ·360°＋270°，即a 2的终边在第三象限.所以a2的终边在第一或第三象限.【解析】24.【答案】(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．【解析】25.【答案】(1)如图，直线√3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°围，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－73＜n＜113，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 【解析】26.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°. 【解析】27.【答案】A 点2分钟转过2θ，且180°＜2θ＜270°， 又14分钟后回到原位，∴14θ＝k ·360°(k ∈Z )， ∴θ＝a ·180°7(k ∈Z )，且90°＜θ＜135°，∴θ＝720°7或900°7. 【解析】28.【答案】由题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，从而可知α＝a7·180°，β＝a 7·180°，m ，n ∈Z .又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限. 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°.于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°.∴45°＜a 7·180°＜90°，45°＜a 7·180°＜90°， 即74＜m ＜72，74＜n ＜72.又∵α＜β，∴m ＜n ，从而可得m ＝2，n ＝3. 即α＝(3607)°，β＝(5407)°. 【解析】29.【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为a 2，弧长l 1＝a 2·|AB |＝a 2·√3+1＝π，面积S 1＝12·a 2·|AB |2＝12·a 2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为a 2，弧长l 2＝a 2·|A 1C |＝a 2·1＝a2，面积S 2＝12·a 2·|A 1C |2＝12·a 2·12＝a 4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－a 2－a 6＝a 3，弧长l 3＝a 3·|A 2D |＝a 3·√3＝√33π，面积S 3＝12·a 3·|A 2D |2＝12·a 3·(√3)2＝a 2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋a2＋√3a 3＝(9+2√3a6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋a 4＋a2＝7a4. 【解析】30.【答案】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°(k ∈Z ). 方法一 因为k ·120°＋30°＜a 3＜k ·120°＋60°(k ∈Z )， 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＋30°＜a 3＜n ·360°＋60°； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋150°＜a 3＜n ·360°＋180°； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜a 3＜n ·360°＋300°. 所以a 3是第一或第二或第四象限角.方法二 如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上1,2,3,4，则标号是几的区域就是θ为第几象限角时a3的终边落在的区域，所以a3是第一或第二或第四象限角.【解析】。