课时跟踪检测 （十二） 函数的概念
层级(一) “四基”落实练
1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，那么集合A 不可能是( ) A ．{1} B ．{－1} C ．{－1,1}
D ．{－1,0}
解析：选D 若集合A ＝{－1,0}，则0∈A ，但02∉B ，故选D. 2．已知函数f (x )＝3
x ，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A.1a B ．3a
C ．a
D ．3a
解析：选D f ⎝⎛⎭⎫1a ＝3
1a
＝3a .
3．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
A ．①②
B ．①④
C ．①②④
D ．③④
解析：选B 根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B. 4．(多选)下列各组函数表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x 2－3
x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)
B ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2
C ．y ＝x 2与y ＝|x |
D ．y ＝x 2＋1，x ∈Z 与y ＝t 2＋1，t ∈Z
解析：选CD 选项A 、B 中对应关系都不同，故都不是同一个函数．C 、D 定义域、对应关系都相同，是同一个函数．
5．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1
D ．2
解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，
f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.
6．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________．
解析：由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.
答案：[0,1]
7．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)． 解析：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)，
y ＝2x ＋4
1－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4.
又∵t ≥0，∴当t ＝1时，y max ＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]
8．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为________．
解析：∵△ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x ＞0， ∴x ＜5，又两边之和大于第三边，∴2x ＞10－2x . ∴x ＞5
2，∴此函数的定义域为⎝⎛⎭⎫52，5. 答案：⎝⎛⎭⎫52，5
9．已知函数f (x )＝x ＋1x . (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；
(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．
解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1
＝－2，f (2)＝2＋12＝5
2.
(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1
a ＋1.
10．求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝
5x ＋4
x －1
； (3)f (x )＝x －x ＋1.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}， 则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5， 所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9
x －1，
所以函数的值域为{y |y ≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1， 故函数的定义域是{x |x ≥－1}． 设t ＝
x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，
于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－5
4. 又t ≥0，故f (t )≥－5
4
.
所以函数的值域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪
y ≥－54. 层级(二) 素养提升练
1．若函数f (x )的定义域为[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )
x －1的定义域为( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1,4]
D ．(1,4)
解析：选B 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤2x ≤4，
x －1＞0，解得1＜x ≤2，因此，函数y ＝g (x )的定义域为(1,2]．
2．已知函数f (x )＝
3
3x －1
ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫1
3，＋∞ B ．(－12,0] C ．(－12,0)
D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，1
3 解析：选B 由题意可知ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当a ≠0时，要想ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，只需Δ＝a 2－4a ×(－3)＜0，解得－12<a <0，综上所述，实数a 的取值范围是－12<a ≤0，故选B.
3．设函数y ＝f (x )对任意正实数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，已知f (8)＝3，则f (2)＝________.
解析：因为f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，所以令x ＝y ＝2，得f (2)＝f (2)＋f (2)，令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)，令x ＝2，y ＝4，得f (8)＝f (2)＋f (4)，所以f (8)＝3f (2)＝6f (2)，又f (8)＝3，所以f (2)＝1
2
.
答案：1
2
4．已知函数f (x )＝1＋x 2
1－x 2.
(1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝－f (x )．
解：(1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2
有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}．
(2)因为f (x )＝1＋x 2
1－x 2
，且f (a )＝2，
所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2
＝13，解得a ＝±33. (3)证明：由已知得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 2
1－⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1， －f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1
x 2－1
，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )． 5．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令
f 1(x )＝[4x ]，
g (x )＝4x －[4x ]，f 2(x )＝f 1(g (x ))．
(1)分别求f 1⎝⎛⎭⎫716和f 2⎝⎛⎭
⎫716的值； (2)求x 的取值范围，使它同时满足f 1(x )＝1，f 2(x )＝3. 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝7
4
，
∴f 1⎝⎛⎭⎫716＝⎣⎡⎦⎤74＝1，g ⎝⎛⎭⎫716＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34. ∴f 2⎝⎛⎭⎫716＝f 1⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫716＝f 1⎝⎛⎭
⎫34＝[3]＝3. (2)由题意知f 1(x )＝[4x ]＝1，则g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤4x ＜2，3≤16x －4＜4，解得716≤x ＜1
2
.
故满足题意的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫716，12.。