数学美解题解题中的数学美泰州市朱庄中学王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。

一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。

”例1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为m、n，记P＝m4+n4,q＝m3+n3,r＝m2+n2. 求aP+bq+cr的值。

分析：本题若用根与系数的关系m+n＝b/a,mn＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。

解：由方程的定义，得am2+bm+c＝0, an2+bn+c＝0，则aP+bq+cr23＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+bm 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2)＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。

例3 已知c b a ，求使得ca kc b ba14恒成立时k 的最大值分析：设m b a ；n c b 化简可得。

例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现4希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。

”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向。

例1． 求证：2/1·5/4·8/7…(3n －1)/(3n －2)＞313 n (n 为正整数)。

分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把 左边的结构补充完整。

解：设A ＝2/1·5/4·8/7·……·(3n －1)/(3n －2),B ＝3/2·6/5·9/8·……· 3n/(3n －1),C ＝4/3·7/6·10/9·……·(3n+1)/(3n),∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0， 8/7＞9/8＞10/9＞0，2313 n n ＞133 n n ＞nn 313 ＞0， ∴A ＞B ＞C ＞0.∴A 3＞ABC ＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6· · (3n5－1)/(3n －2) ·3n/(3n －1) ·(3n+1)/(3n)＝ 3n+1. ∴原不等式成立。

例2 证明：对于一切和为1的正数na a a a 321,,，不等式211212132222121a a a a a a a a a a a a n n nn n1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n A 1211232232122a a a a a a a a a a a a n nn n B0 B A再利用2)(222b a b a和A B A 2例4． 如图，△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC ＝1，∠A ＝60°, ∠ABC ＝100°, ∠DEC ＝80°, 求S △ABC +2S △CDE . 分析：△ABC 和△CDE 都是一般的斜三角形，直接求面积很困难，注意到∠A ＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC 整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解。

ABCDEF MEDCBA6解：以AC 为一边，∠A 为一内角作正三角形ACM,作∠MCB 的平分线交MB 于F 。

∵MC ＝AC, ∠MCF ＝∠ACB ＝20°, ∠M ＝∠A, ∴△MFC ≌△ABC.又∵△CD E ∽△CFB,CE ＝1/2CB, ∴S △CDE ＝1/4 S △CFB∴S △ABC +2S △CDE ＝S △ABC +1/2S △CFB ＝1/2S △ACM ＝3/8.三、对称美——从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美的数学内容可谓比比皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效。

长期以来，人们对于对称性的理解往往仅局限于函数图象自身的对称性和不同函数图象之间的对称性，这大大缩小了对称性的外延。

其实，对称性应广义的理解为对称关系，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用它往往能更简捷地使问题得以解决。

本文阐述自己在这方面的思考与探索.1．利用对称的图形关系几何图形的对称性是一种美,但它所蕴涵的代数关系往往是问题解决的关键,也是形成奇思妙解的源泉.9.函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析函数y＝11－x＝－1x－1和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝11－x与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设78其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 8例 1 在椭圆191622 y x 中,求以点)2,3(P 为中点的弦所在的直线方程.分析：按常规方法，设出过P 的点斜式方程，将它与椭圆方程联立，然后结合中点坐标公式、韦达定理求出斜率，进而求得直线方程.但如果注意到椭圆的对称性以及中点弦的对称性，则可以利用对称性构造关于中点的对称方程求解.先求出椭圆191622 y x 关于点)2,3(P 对称的椭圆方程19)4(16)6(22 y x ,然后将两椭圆方程相减,整理后可得所求直线方程: 01453227 y x .例2． 如图，P 为⊙O 的弦AB 的中点，过P 任作两条弦CD 、EF ，连结ED 、CF 分别交AB 于M 、N 。

求证：PM ＝PN 。

（蝴蝶定理）评述：本题给人以对称美的享受，七十年9代，美国一家数学杂志曾对此题进行有奖征答，涌现出多种证法，这里介绍本人的独特证法：证明：连接OP 、OM 、ON ，过O 作OG ⊥ED 、OH ⊥CF ，垂足分别为G 、H ，连接PG 、PH ， ∵PA ＝PB ，AB 不是⊙O 的直径， ∴OP ⊥AB∴O 、P 、M 、G 四点共圆，O 、P 、N 、H 四点共圆，∴∠EGP ＝∠MOP ，∠CHP ＝∠NOP 。

∵△PED ∽△PCF ，PG ，PH 是中线， ∴△PEG ∽△PCH 。

∴∠EGP ＝∠CHP ，∴∠MOP ＝∠NOP ，∴PM ＝PN 。

2．利用对称的结构关系数学问题常有对称的结构关系,如典型的轮换对称、和差对称、互倒对称、互余对称、共轭对称等，恰当的利用对称的结构关系不仅能提高解题速度，而且往往能以简驭繁，简缩思维，拓宽思路.例1． 化简))((c a b a bc ＋))((a b c b ca ＋))((b c a c ab的结果为＿。

（1991年第一届“希望杯”数学竞赛HG PN OFM C E DB A10试题）A. ))((2c a b a bcB. ))((2a b c b caC.))((2b c a c abD.0 分析：因原式是a 、b 、c 的对称式，故化简的结果也应是对称式，但选择支A 、B 、C 都不是对称式，因此选D 。

例2 已知a ＞0, b ＞0，且a ＋b ＝1，求(a＋a 1)(b ＋b1)的最小值. 分析：由题设条件可知 a 、b 具有对称性，因此猜想当a ＝b ＝21时，原式有最小值425，可考虑均值设元.解：设2121xb x a， (－21＜x ＜21) 则(a ＋a 1)(b ＋b1)＝242164162425x x x显然，当x ＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4.因而，当a ＝b ＝21时，原式的最小值为425. 32a z a ay x例3 解关于z y x 、、的方程组:32b z b by x .32c z c cy x分析:本题可以运用消元法解，但运算量大，若注意到z y x 、、及c b a 、、的对称性，则可以这样求解：将c b a 、、看成未知系数，z y x 、、看作系数，那么c b a 、、就是方程023 x ym zm m 的根，由韦达定理可得：zc b a cabc xy ca bc ab ，则原方程的解为： )(ca bc ab yxabc cc b a z例4 求不定积分dx xx xcos sin sin 分析:本题乍一看不易下手,方法不当难以积分.但如果注意到正弦和余弦的对称性以及和式与差式的对称性,则可以化难为易,得到以下简洁美妙的解法. 由于xx xxx x xx xx cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin,令dxT x x xcos sin sin 1；dxT x x xcos sin cos 2；则 1cos sin cos cos sin sin 21c x dx dx dx T Tx x xx x x ，2cos sin )cos (sin cos sin sin cos sin cos 12|cos sin |ln C x x dx dx T T x x x x d x x xx x x ，联解以上两式得).)((|)cos sin |ln (2121211c c c c x x x T 其中. 3．利用对称的性质关系例4 求和：n n nnnnnC C C C C S 4321432分析：从结构上看，求和的各项是由等差数列的项与二项式系数的项合成，二项式系数的突出性质就是具有对称性，即k n nk nC C ，而等差数列的性质之一也是对称性，因此联想利用倒序相加法来解决不失为一种简便又巧妙的方法.设n nnnnnnnC C C C C G S 4321043210 ① 则构造010)1(nn n n n C C n nC S ②①+②得nn nN n n n n n n n n n C C C C n nC nC nC nC nC S 2)(22103210 ∴12 n n S .4．利用对称的位置关系当数学问题中的若干几何元素自身或这些几何元素都与同一几何元素存在对称的位置关系，则可以研究对称的几何元素寻找解题突破口，或可以研究其中一个几何量的性质，其它类比解决.11．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________． 解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2ex ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2例5 设异面直线a 、b 成 60角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段|AB|=4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动，求AB 的中点P 的轨迹. 分析：由于异面直线a 、b 和两端点A 、B 的地位都 E A 相等，由位置的对称性知P 点的轨迹必在过EF的中点O ， o P A a 且与a 、b 平行的平面 内.故取EF 的中点O,过O 作a a // , B bb b // ,则b a ,确定平面 ,EF ⊥ ,且A 、B 在 内的射影A 、 F B B 分别在b a 、上，而且由对称性知AB 的中点P 必在B A上，由|EF|=2，|AB|=4可得32|| B A . y在平面 内以B O A 的平分线为x 轴，为原点建立直 A角坐标系.令m A O ||,n B O ||,在B O A 中1222mn n m . O P x设点P 的坐标为),(y x ,则有)(223n m x , )(221n m y , B解得y m x 232 ， y n x 232 ， 消去n m 、可得1292 y x . 5．利用对称的数量关系当数学问题中的若干元素（或若干情形）具有对称的数量关系时，由此出发构建解题思路，往往可化繁为简，化难为易.例 6 由0，1，2……9组成无重复数字的6位数，个位数比十位数大的6位数有多少个？分析:若从个位数字进行考虑,就得按0，1，2……9进行分类讨论,则问题较为繁杂.注意到任意一个个位数比十位数大的6位数,交换个位与十位后就得到十位数比个位数大的6位数,反之亦然,依此“对称性”知所求为6位数总数的一半,即 )9(5921A 68040个.例7 已知 、、、均为锐角，且满足1cos cos cos 222 ，求证：29sin 1sin 1sin 1222.分析:由对称性知当 32222sin sin sin时等号成立,于是:34sin 9sin 122； 34sin 9sin 122；34sin 9sin 122，将三式相加得94)sin sin (sin9sin 1sin 1sin 1222222，即94)]cos cos (cos 3[9sin 1sin 1sin 1222222，故29sin 1sin 1sin 1222. 6．利用对称的置换关系当数学对象的若干量存在特定的数量关系时，则可以通过这种对称的置换关系，获得其余量的特征.这大大减少了运算环节,降低了思维难度.例8 已知函数ax x x f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，定义数列 n a ，使得a a 1，),(12a f a ……，)(1n n a f a .(1)求数列 na 的通项； （2）求证：11i ni i a a <8.分析：解决本题的出发点在于求出参数a .由于函数ax xx f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，因此可以进行以下置换:用 x换y ,用y 换x ,得到解析式: ay y x)(2.即2x ax y ,于是得2 a (其余略).评注:中学数学中有一个典型的置换,当几何图象关于直线b x y 对称时,其代数表达式则满足这样的置换关系: 用 b x 换y ,用b y 换x .例9 已知椭圆16222 y x 的内接PAB 的顶点P 的坐标为)3,1(，若APB 的平分线垂直于x 轴，求AB 边的斜率.分析:由平面几何知识知，直线PA 、PB 的倾斜角互补，其斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k ,将其方程3)1( x k y 代入椭圆16222y x 方程.可求得点B 的坐标为)33363,3332(2222 k k k k k k 求A 点的坐标时,无须将直线PA 的方程代入椭圆,只须以k 置换点B 坐标中的k ,即可得点A 的坐标)33363,3332(2222k k k k k k,所以3AB AB ABx x y y k.7．利用对称的变换关系中学数学问题有四类典型的对称变换，即点关于点的对称；点关于线的对称，线关于点的对称；线关于线的对称.这些对称变换一般利用中点公式、垂直关系，结合韦达定理则可以顺利解决.例10 已知椭圆C 的方程为16222 y x ，试确定m 的取值范围，使得对直线m x y L 4:，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:本题是一道典型的点关于直线对称的变换,需要抓住中点公式、垂直关系，结合韦达定理求解.故设C 上),(11y x A 、),(22y x B 两点关于直线m x y 4对称，AB 的中点为),(0y x .由于L AB ,可设直线AB 的方程为: b x y 41.由 m x y 4 得0481681322 b bx x16222 y x则: )4816(1346422 b b >0; 134221b x x x ; b b x y 13120410∴213 <b <213, ① AB 的中点为),(1312134b b 在直线L 上.∴m b b 13161312, 即134b m ,代入①得 13132<b <13132. 评注:本题还可以将),(11y x A 、),(22y x B 两点代入直线方程,利用两式相减求解,但都要注意使用设而不求的转换策略.四、相似美——从直觉判断和类比中发现数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题。