空军工程大学2013年博士研究生入学试题考试科目： 概率论与数理统计 （A 卷） 科目代码 2003 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。
一、填空题（20分，每小题2分）1、 设,A B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______P A B A B A B A B ++++=。
2、 设随机变量X 的概率密度为1,(0,1)32(),(3,6)90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P x k ≥=，则k 的取值范围是______。
3、 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为______。
4、 随机变量X 服从参数为1的Poisson 分布，则2{}______P X EX ==5、 设12,,m X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别表示样本均值与样本方差，记统计量2T X S =-，则______ET =。
6、 设由来自正态总体2(,0.9)X N μ:容量为9的简单随机样本，得到样本均值为5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是______。
7、 设12,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中参数μ和2σ未知，记22111,()nni i i i X X Q X X n ====-∑∑，则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量______t =。
8、 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差的方差2σ的估计值为______。
9、 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中取一个数记为Y ，则{2}______P Y ==。
10、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，相关系数为0.5-，则由切比雪夫不等式{6}______P X Y +≥≤。
二、选择题（20分，每小题2分）1、 设随机变量21(),(1),X t n n Y X>=:，则______ 22:():(1):(,1):(1,)A Y nB Y nC Y F nD Y F n χχ-:::: 2、 设12,,,n X X X L L 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)λλ>的指数分布，记()x Φ为标准正态分布函数，则()______x Φ=。
:lim :lim :lim :lim n n i i n n n n i i n n X n X n A P x B P x X n X C P x D P x λλλλ→∞→∞→∞→∞⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑ 3、设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与X Y η=- 不相关的充分必要条件是______。
2222222222:()():()[()]()[()]:()():()[()]()[()]A E X E Y B E X E X E Y E Y C E X E Y D E X E X E Y E Y =-=-=+=+4、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，X 和Y 的相关系数等于______。
1:1:0::12A B C D -5、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N 则___11:{0}:{1}2211:{0}:{1}22A P X YB P X YC P X YD P X Y +≤=+≤=-≤=-≤= 6、假设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min{2,}Y X =的分布函数____ :::A B C D 是连续函数至少有两个间断点是梯度函数：恰好有一个间断点7、设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<，则必有______。
12121212::::A B C D σσσσμμμμ<><>8、设,A B 为任意两个事件且A B ⊂，()0P B >，则下列选项必然成立的是___ :()(|):()(|):()(|):()(|)A P A P A B B P A P A B C P A P A B D P A P A B <≤>≥9、随机变量Y X 和都服从正态分布，则______22222222::::A X Y B X Y X C X Y D Y χχ++服从正态分布服从正态分布和都服从分布服从分布10、设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为_____()[][]22:():()():11():1()1()A F x B F x F y C F x D F x F y ----三、证明题（20分）1. 设12,,....,X X 为独立同分布的随机变量序列，且方差存在。
随机变量N 只取正整数值，()Var N 存在，且{}n N X 与独立，证明：2111()()[()]()()Ni i Var X Var N E X E N Var X ==+∑2. 设总体为111(,),,...,22n X U x x θθ-+:为样本，证明：样本均值X 和样本中程(1)()1()2n x x +都是θ的无偏估计，并比较它们的有效性。
四、计算题（40分）1. （15分）求一回归直线y A Bx =+，使所有样本点11(,),...,(,)n n x y x y 到该直线的垂直距离的平方和最小。
2. （10分）设总体211(,)X N μσ:，总体222(,)Y N μσ:，从总体X 中抽取样本1,...,m x x ，从总体Y 中抽取样本1,...,n y y ，两样本独立。
考虑如下假设检验问题：012112: : H c d vs H c d μμδμμδ+=+≠其中 0,0,c d δ≠≠都是已知常数。
求检验统计量与拒绝域。
3. （15分）设随机变量X 的概率密度为1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它令2Y X =，(,)F x y 为二维随机变量(,)X Y 的分布函数。
求：(1) Y 的概率密度()Y f y ；(2) cov(,)X Y ；(3) 1(,4)2F - 概率论与数理统计1、(10分) 设随机变量Y 服从均值为μ，方差为2σ的正态分布，证明： (||)(()/)E Y c Q c σμσ-=-其中()2[()()]Q t t t t t ϕ=+Φ-，()t ϕ是标准正态分布的密度函数，()t Φ是相应分布函数。
2、(8分) 假设某大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布，求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布 。
3、(12分) 设12,,,n X X X L 是一个取自具有未知均值μ和未知方差2σ的正态母体的样本，试给出2σ的显著性水平为(1)α-的置信区间。
4、 (12分) 自动生产线上加工的螺丝的长度（单位：cm ）X 服从正态分布(,1)N μ，规定长度小于10cm 或者大于12cm 的为不合格品。
每件产品的成本为10元，长度大于12cm 的可再加工成合格品，尚需要加工费5元。
全部合格品在市场上销售，每件合格品的售价为20元。
问：螺丝的平均长度μ取多少时，销售一个螺丝的平均利润会最大？5、(12分) 设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，又随机变量： 122,2X X X Y e X Y e --=-=+ 试求12Y Y 与的协方差矩阵的特征值之和。
6、(10分) 假设随机变量X 具有密度函数p ，且p 关于c 对称，即()()p x c p x c +=-+对所有的x 都成立。
证明：c 是X 的中位数。
7、(16分) 在一个医疗实验中，治疗效果是在控制反应为x 的个体的反应上加上一个量()x δ。
因此，接受治疗的个体的反应为()y x x δ=+。
这里()x x δ+是单调增加的，假设δ是由控制和治疗的总体的分布所唯一确定的。
设有控制和治疗反应的独立样本121,,,n X X X L 和122,,,n Y Y Y L ，其中211(,),i X N μσ:11,2,i n =L ，222(,),i Y N μσ: 21,2,i n =L 。
1）证明：线性模型成立的充要条件是2212σσ=；2）证明：2211()()x x x σδμμσ=+--； 3）对于固定的x ，给出()x δ的最大似然估计。
8、(8分) 设随机变量X 和Y 相互独立，其中X 的概率分布为：(1)0.3, (2)0.7P X P X ====而Y 的概率密度函数为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度函数()g u 。
9、(12分) 求一条直线，使得所有子样点(,) (1,2,,)i i x y i n =L 到该直线的垂直距离的平方和最小。
2014年概率论与数理统计1、(10分) 设随机变量Y 服从均值为μ，方差为2σ的正态分布，证明： (||)(()/)E Y c Q c σμσ-=-其中()2[()()]Q t t t t t ϕ=+Φ-，()t ϕ是标准正态分布的密度函数，()t Φ是相应分布函数。
2、(8分) 假设某大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布，求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布 。
3、(12分) 设12,,,n X X X L 是一个取自具有未知均值μ和未知方差2σ的正态母体的样本，试给出2σ的显著性水平为(1)α-的置信区间。
4、 (12分) 自动生产线上加工的螺丝的长度（单位：cm ）X 服从正态分布(,1)N μ，规定长度小于10cm 或者大于12cm 的为不合格品。
每件产品的成本为10元，长度大于12cm 的可再加工成合格品，尚需要加工费5元。
全部合格品在市场上销售，每件合格品的售价为20元。
问：螺丝的平均长度μ取多少时，销售一个螺丝的平均利润会最大？5、(12分) 设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，又随机变量： 122,2X X X Y e X Y e --=-=+ 试求12Y Y 与的协方差矩阵的特征值之和。