数学方法论 课程考 试查试题册B 答案
试题使用对象 ： 数学与统计学院 2011 级 数学与应用数学 专业(本科) 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷
说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。
2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。
一、 填空题（本题共30 分，共10小题，每题各3 分）
1．在化归过程中应遵循的原则是 。
简单化原则、熟悉化原则、和
谐化原则
2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时， 的一种思想方法。
由数思形、见形思数、数形结合考虑问题
3． 即所谓“由因导果”的方法。
完全归纳法又分为 和类分法两种类型。
穷举归纳法
4．《几何原本》所开创的 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。
．公理化 5．类比法是指 的一种推理方法。
由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性
6．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。
．寻找反例说明此猜想为假
7．化归方法包含的三个要素是： 。
化归对象、化归目标、化归途径 8．已知n m ,是互不相等的实数，且使等式022=+-m m ， 022
=+-n n 成立，则n
m 1
1+= 。
1/2
9．已知在ABC ∆中，满足 ++B A 22sin sin B A A C C B C sin sin sin sin sin sin sin 2
++= 则ABC ∆为 三角形。
等边
10．设 05422
2
=++-+y x y x （x ，y 为实数），则x
y
的值为 。
2
二、 计算或证明（本题共 60 分，共6小题，每题各10分）
1． 一般化是解题的一种常用方法。
比较2014
2013
与2013
2014
的大小。
解 一般化，比较b
a 与a
b 的大小 ，即比较 a b ln 与b a ln 的大小即可。
方法2 由二项式定理 ∑=+=⋅<=
+n
k n n k K
N
n
n n n n C
n 0
1)1(即得
2．归纳猜想是探索规律性问题的有效方法，试用此法探讨形如 52221111
个
个
n n N -= 的数是否为完全平方数。
证 先归纳猜想，再证明。
52221111
个
个
n n N -=511110211110n 11+⨯⨯+⨯=-+ 个
个
n n 59
1
10102911010
11
n +-⨯⨯+-⨯=-+n n
2
n 1
23510251010(91⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=+）n n 3．简述分析法的种类，并用分析法证明
设,,+
∈R b a 且b a ≠，证明2
233ab b a b a +>+
分析法的种类：1.元抽象分析法；2.追溯型分析法；3.构造型分析法；4前进型分析法；5.混合型分析法。
证明 要使 2
2
3
3
ab b a b a +>+ 只需 )())((22b a ab b ab a b a +>+-+
要使 )())((22b a ab b ab a b a +>+-+
只需 ab b ab a >+-2
2 只需 022
2>+-b ab a 只需 0)(2
>-b a
而 ,,+∈R b a 且b a ≠，从而0)(2
>-b a 4． 正难则反是一种解题策略。
试用此策略求解： 设三个方程 03442
=+-+a ax x ，
0)1(22=+-+a x a x
0222=-+a ax x
至少有一个方程有实根，求a 的范围。
解 由不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧<+<--<-+08404)1(0)34(41622
22a a a a a a
得 12
3
-<<-
a 故，当 ),1[]2
3,(+∞-⋃--∞∈a 时，三个方程中至少有一个有实根。
5．设R b a i i ∈,，)2,1(n i =，证明：
∑∑∑===⋅≤n
i i n
i i
n
i i i b a b a 1
21
22
1
)(
证明 构造函数 ()
∑=-=
n
k k
k
b t a t f 1
2
)(=∑∑∑====+-n
k n k n
k k k k k b b a t a
t
1
1
1
221
2
2
则对任意的R t ∈有()
∑=≥-=
n
k k
k
b t a t f 1
2
0)(
故 04212
11212
1≤-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∆∑∑∑=====n
k k n k k n k k k b a b a
整理即得 ∑∑∑===⋅≤n
i i n i i n
i i i b a b a 1
21
2
2
1
)
(
6． 证明：如果四面体的各面都是边长为分别c b a ,,的全等三角形，记)(2
1222
2
c b a s ++=，那么该四面))()((3
1
222222c s b s a s V ---=
体
的体积是
证明 以四面体的各楞为侧面的对角线，把原四面体补充成一个长宽高为z y x ,,的长方体则有
xyz xyz xyz V 3
1
21314=⨯⨯-=
而 2
2
2
c y x =+，2
2
2
b y z =+，2
22a z x =+
从而 ))()((3
1
222222c s b s a s V ---=
三．下面问题的解答运用了那些数学思想方法？并作简要说明。
圆周角定理证明思路如下：将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：①角的一边落在直径上； ②角的两边在某一直径的两侧；③角的两边在某一直径的同侧。
如下图所示：
先对情况①进行证明，然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明。
最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。
试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。
答．该证明中需用到下面几种数学思想方法： ①将圆周角分成三种情况，用到分类方法；
②先证明情况①，而情况①是角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法； ③情况②，③的证明用到化归方法；
③通过对所有三种情况的证明，最后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法； ④在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。
。