关于圆的切线方程及相关公式的证明
一、点P(x 0,y 0)在圆上
1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为
(x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或
(x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0
证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2
+(y 0-b) 2
=r 2
，圆心O(a,b)，OP 的斜率a
x b
y k --=
00 ∴切线的斜率为k
1
-
，切线方程)(0000
x x b
y a x y y ----=-
0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ① （x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ②
①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 2
2、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为
x 0x + y 0y ＝=r 2
（当a=0，b=0）
3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2
x x + ）+ E ×（
2
y y + ）+ F =0
证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(222
2
F
E D E
y D
x -+=
+
++
∵P(x 0,y 0)在圆上，4
4)2
()2
(222020F
E D E
y D
x -+=
+
++
，OP 的斜率
2
2
00D
x E
y k +
+=
∴切线的斜率为
k
1
-
，切线方程
)
(2
20000x x E
y D x y y -+
+-
=-
0))(2
())(2
(0000=-+
+-+
y y E
y x x D
x ①
4
4)2
()2
(222
02
0F
E D E
y D
x -+=
+
++
②
①+②得出
4
4)2
)(2
()2
)(2
(22000000F
E D E
y y y E
y D
x x x D
x -+=
+
+-+
++
+-+
4
442)(42)(22200200F
E D E y y E y y D x x D x x -+=++⨯++++⨯+
x 0x + y 0y + D ×（
2
x x + ）+ E ×（
2
y y + ）+ F =0
二、点P(x 1,y 1)在圆外
1、切线长22121)()(r b y a x PA --+-= (标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2） 证明：用勾股定理。

切线长F Ey Dx y x PA ++++=112
12
1 (一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0) 证明：把圆的方程整理成标准方程，用勾股定理。

2、过切点AB 弦的直线方程
（1） (x 1-a)(x-a)+(y 1-b)(y-b)= r 2 (弦方程) (标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2）
（2）x 1x + y 1y + D ×（
2
1
x x + ）+ E ×（
2
1
y y + ）
+ F =0 (一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0) (弦方程)
证明（1）：设切点A(x 01,y 01)，B(x 02,y 02)，过切点A 、B 的切线方程为
(x 01－a) (x －a) +(y 01－b) (y －b) =r 2 (x 02－a) (x －a) +(y 02－b) (y －b) =r 2 ∵两条切线均过P(x 1,y 1)
则 (x 01－a) (x 1－a) +(y 01－b) (y 1－b) =r 2 ① (x 02－a) (x 1－a) +(y 02－b) (y 1－b) =r 2 ② 由①②式得出点A(x 01,y 01)，B(x 02,y 02) 满足线性方程 (x －a) (x 1－a) +(y －b) (y 1－b) = r 2
因此AB 的直线方程(x 1－a) (x －a) +(y 1－b) (y －b) = r 2 证明（2）： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
设切点A(x 01,y 01)，B(x 02,y 02)，过切点A 、B 的切线方程为
x 01x + y 01y + D ×（
2
01
x x + ）+ E ×（
2
01
y y +）+ F =0
x 02x + y 02y + D ×（
2
02
x x + ）+ E ×（
2
02
y y +）+ F =0
∵两条切线均过P(x 1,y 1)
x 01x 1 + y 01y 1 + D ×（
2
01
1x x + ）+ E ×（
2
01
1y y +）+ F =0 ①
x 02x 1 + y 01y 1 + D ×（
2
02
1x x + ）+ E ×（
2
02
1y y +）+ F =0 ②
由①②式得出点A(x 01,y 01)，B(x 02,y 02) 满足方程
x 1x + y 1y + D ×（
2
1
x x + ）+ E ×（
2
1
y y + ）+ F =0
因此该方程为AB的直线方程。

3、两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，其公共弦的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
证明：设交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别代入两个圆的方程
x12+y12+D1x1+E1y1+F1=0 ①
x12+y12+D2x1+E2y1+F2=0 ②
①－②得(D1-D2)x1+(E1-E2)y1+(F1-F2)=0
同理把B(x2,y2)代入得(D1-D2)x2+(E1-E2)y2+(F1-F2)=0
可见点A(x1,y1)，B(x2,y2) 满足线性方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
因此该方程为AB的直线方程。

三、过两点为直径圆的方程
过A(x1,y1)，B(x2,y2)两点为直径的圆，其方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
证明：取圆上任意一点M(x,y)，MA⊥MB(M与A、B点重合除外)。

总有MA2+MB2=AB2成立
(x－x1)2+(y－y1)2+(x－x2)2+(y－y2)2=(x2－x1)2+(y2－y1)2
(x－x1)2－(x2－x1)2+(y－y1)2－(y2－y1)2 +(x－x2)2+(y－y2)2=0
(x－x2)( x－x1+x2－x1)+ (y－y2)(y－y1+y2－y1)+(x－x2)2+(y－y2)2=0
(x－x2)( x－x1)+ (x－x2) (x2－x1)+ (x－x2)2+(y－y2)( y－y1)+ (y－y2) (y2－y1)+ (y －y2)2=0
(x－x2)( x－x1)+ (x－x2) (x2－x1+ x－x2)+(y－y2)( y－y1)+ (y－y2) (y2－y1+ y－y2) =0
2(x－x2)( x－x1)+2(y－y2)( y－y1)=0
则(x－x1)( x－x2)+ (y－y1)( y－y2)=0。