§2–6无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =α
β
lim
（c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；
（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较
定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，
（1）如果Y Z
lim
= c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果Y
Z
lim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量；
（3）如果k
Y
Z
lim = c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部
定义
3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与
k
α（k ＞0）是同阶的无穷小，即
k
α
β
lim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。
重点难点突破
1．关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义
β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =α
β
； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim
=α
β
（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim
存在，则αβlim =α
β''lim
无穷小量的比较表
2．关于无穷小的阶 当x →0时，由恒等式
（ⅰ）o (x n )+ o (x m )= o (x n ) 0＜n ＜m （ⅱ）o (x n ) o (x m )= o (x m+n ) m ＞0, n ＞0 3．关于无穷小的替换定理
设当0x x →时，)(~)(21x x αα，)(~)(21x x ββ，)()(lim
220
x x x x αβ→存在，则)()
()()(lim 2
2110
x x x x x x αβαβ=→．
解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：
例1 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ① x - 3x 3 + x 5 ②sinxtgx
解：①因为当x →0时，在x - 3x 3 + x 5中3x 3 与x 5都是x 的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）
13lim 530=+-→x
x x x x 所以，当x →0时，x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小
②因为当x →0时，sin x ～x ，tg x ～x ，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x =o (x 2)，即1sin lim 20=→x
xtgx
x 所以，当x →0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数
例2 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ①x x --+11 ②tg x –sin x 解：①通过分子有理化将原式变形
x x --+11=
x
x x
-++112
由此看出，当x →0时，x x --+11是x 的一阶无穷小，事实上 1)
11(2lim
0=-++→x x x x
x
②通过三角函数的公式将原式变形
x
x x x x x x tgx cos )
cos 1(sin sin cos sin sin -=
-=
- 因为 sin x ～x ， 1-cos x ～2
1
x 2
由此看出，当x →0时，tg x –sin x 是x 的三阶无穷小，事实上
2
1cos 21lim cos )cos 1(sin lim 32
030=••=•-→→x x x x x x x x x x 此题错误解法： 解：因为 0sin lim sin lim
00=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-→→x x x
tgx x x tgx x x
所以，当x →0时，tg x –sin x 是x 的一阶无穷小
这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与k
α比的极限不能为零。
2．利用等价无穷小代换求极限
常用等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
2
2
1~
cos 1x x -,x x x 2tan ~2sin ~2． 例5 求下列函数的极限 （1）203cos 1lim
x x x -→ ， （2）3
0tan sin lim
x x x
x →-．
解 （1）203cos 1lim x x x -→=61321lim 220=→x x
x （221~cos 1,0x x x -→）． （2）x x x x 30sin sin tan lim -→=x
x x x x cos )
cos 1(sin lim 30-→ 2
0sin (1cos )1lim cos x x x x x x →-=⋅⋅ =2
2
2sin 2lim
x x
x →
=21 （ 2
22~2sin ,0⎪⎭
⎫
⎝⎛→x x x ） ． 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式
时，一般不能代换其中一项。
否则会出错．
如上题 0lim sin sin tan lim
3030=-=-→→x
x
x x x x x x , 即得一错误结果．《灌排工程工》知识要点
一、•选择题（共70题）
1、灌溉水进入田间并湿润植物根区土壤的方式与方法，称为( A )。
（A ）灌水方法 （B ）灌水技术 （C ）全面灌溉 （D ）局部灌溉 2、下面( D )不属于全面灌溉。
（A ）沟灌 （B ）淹灌 （C ）波涌灌
（D ）滴灌
3、按照灌溉水是否湿润整个农田、水输送到田间的方式和湿润土壤的方式，通常将灌溉分为全
面灌溉和( D )两类。
（A ）灌水方法 （B ）灌水技术 （C ）全面灌溉 （D ）局部灌溉
4、全面灌溉即灌溉水湿润整个农田植物根系活动层内的土壤的灌溉，包括地面灌溉和( A )两
类。
（A ）喷灌 （B ）渗灌 （C ）涌泉灌
（D ）滴灌
5、地面坡度较平缓的情况下，畦田的长边方向与地面等高线( C )布置。
（A ）平行 （B ）斜交 （C ）垂直 （D ）任意
6、地面坡度较大，为缓解畦田内地面坡度，畦田的长边方向与地面等高线( A )布置。
（A ）平行或斜交 （B ）沿地面最大坡度方向 （C ）垂直
（D ）任意
7、一般自流灌区的畦q í
长以( B )为宜。
（A ）30-5m （B ）50-100m （C ）100-150m （D ）150-200m
8、悬着毛管水达到最大时的土壤含水率称之为( C )。
（A）最大分子持水率（B）毛管持水量
（C）田间持水率（D）饱和含水率
9、作物需水量指( C )。
（A）叶面蒸腾量（B）叶面蒸腾量+深层渗漏量
（C）叶面蒸腾量+棵间蒸发量（D）叶面蒸腾量+棵间蒸发量+深层渗漏10、在缺水地区，把有限的水量用在( A )，能充分发挥水的增产作用，做到经济用水。
（A）需水临界期（B）日需水量
（C）作物需水量（D）作物耗水量
11、单位产量的需水量随产量的增加而( A )。
（A）逐渐减小（B）逐渐增大
（C）不变化（D）不相关
12、不属于农作物灌溉制度主要内容的是( C )。
（A）灌水定额（B）灌水时间
（C）气候（D）灌溉定额
13、当降雨深超过( C )时，即应进行排水。