江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试
数学试题
2019．9
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．
2. 已知复数i
i z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，
[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．
4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．
5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．
6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116
2
22>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3
54 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．
10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =
，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．
11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．
12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．
13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，
32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=AD
AB ．
14. 已知函数11,212
1,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．
（1）证明：EF ∥平面 PAC ；
（2）（2）证明：AF ⊥PC ．
16．（本小题满分 14 分）
在ABC ∆中，4
3π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；
（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．
17．（本小题满分 14 分）
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；
（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．
18．（本小题满分 16 分）
已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为2
1，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；
（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．
19．（本小题满分 16 分）
在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．
（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；
（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 2ln )(--=x x x f ．
（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；
（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；
（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．
参考答案
一、填空题
1.]0,1(-
2.2-
3.200
4.31
5.)21[∞+，
6.17
7.1162022=-y x
8.23
9.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-
二、解答题
15. 略
16. （1）10
10sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取
554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13
42
2=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4
819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为
2ln 2815-.。