工程力学公式微积分公式高等数学公式汇总 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】公式:1、轴向拉压杆件截面正应力N F Aσ=,强度校核max []σσ≤2、轴向拉压杆件变形Ni i iF l l EA ∆=∑3、伸长率:1100%l l l δ-=⨯断面收缩率:1100%A A Aψ-=⨯ 4、胡克定律:E σε=,泊松比:'ευε=-,剪切胡克定律:G τγ= 5、扭转切应力表达式:T I ρρτρ=,最大切应力:max P PT TR I W τ==,44(1)32P d I πα=-,34(1)16P d W πα=-,强度校核:maxmax []PT W ττ=≤ 6、单位扭转角:Pd Tdx GI ϕθ==,刚度校核:max max []PT GI θθ=≤,长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角PTlGI ϕ=,扭转外力偶的计算公式:()(/min)9549KW r p Me n =7、薄壁圆管的扭转切应力:202T R τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式:cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-,sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力:'2x yσσσ+=,''2x yσσσ+='''0σ=最大切应力max '''2σστ-=±=最大正应力方位02tan 2x x yτασσ=--10、第三和第四强度理论:3r σ=4r σ=11、平面弯曲杆件正应力:ZMy I σ=,截面上下对称时,ZM W σ=矩形的惯性矩表达式:312Z bh I =圆形的惯性矩表达式:44(1)64Z d I πα=-矩形的抗扭截面系数:26Z bh W =,圆形的抗扭截面系数:34(1)32Zd W πα=-13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:max max *S z SZ F S FK bI Aτ==14、平面弯曲杆件的强度校核:(1)弯曲正应力max []t t σσ≤,max []c c σσ≤ (2)弯曲切应力max []ττ≤(3)第三类危险点:第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核:叠加法max []w wl l≤,max []θθ≤ 16、(1)轴向载荷与横向载荷联合作用强度: maxmax min ()N ZF M A W σσ=±(2)偏心拉伸(偏心压缩):max min ()N ZF F A W δσσ=±(3)弯扭变形杆件的强度计算:有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦)一、0101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩(系数不为0的情况)二、重要公式(1)0sin lim 1x xx →=(2)()10lim 1x x x e →+= (3))1n a o >=(4)1n = (5)limarctan 2x x π→∞=(6)lim tan 2x arc x π→-∞=-(7)limarccot 0x x →∞= (8)lim arccot x x π→-∞= (9)lim 0x x e →-∞=(10)lim x x e →+∞=∞ (11)0lim 1xx x +→= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) 四、导数的四则运算法则五、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x'= ⑿()1log ln x a x a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=六、高阶导数的运算法则 (1)()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ (2)()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦(3)()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦(4)()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)()()!n n x n = (2)()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⑿()1log ln x a d dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin dx x c =+十一、下列常用凑微分公式积分型换元公式十二、补充下面几个积分公式 十三、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰,令n u x =,ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令n u x =,sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令n u x =,cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰,令arctan u x =,n dv x dx = 形如ln n x xdx ⎰,令ln u x =,n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰,cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式sin x a t =tan x a t =sec x a t = 【特殊角的三角函数值】(1)sin 00= (2)1sin62π=(3)sin 3π= (4)sin 12π=) (5)sin 0π=(1)cos01= (2)cos62π=(3)1cos 32π= (4)cos 02π=) (5)cos 1π=-(1)tan 00= (2)tan63π=(3)tan 3π=(4)tan 2π不存在 (5)tan 0π=(1)cot 0不存在 (2)cot 6π=(3)cot3π=(4)cot 02π=(5)cot π不存在 十五、三角函数公式1.两角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化积公式5.积化和差公式6.万能公式7.平方关系 8.倒数关系 9.商数关系十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程:()()dyf xg y dx= , ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程:dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.一阶线性非齐次微分方程:()()dyp x y Q x dx+= 解为: 高等数学公式·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC 中, 角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数:sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin ^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 ·其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan (π/2+α)=-cotα cot (π/2+α)=-tanα sin (π/2-α)=cosα cos (π/2-α)=sinα tan (π/2-α)=cotα cot (π/2-α)=tanα sin (3π/2+α)=-cosα cos (3π/2+α)=sinα tan (3π/2+α)=-cotα cot (3π/2+α)=-tanα sin (3π/2-α)=-cosα cos (3π/2-α)=-sinα tan (3π/2-α)=cotα cot (3π/2-α)=tanα (以上k ∈Z) 部分高等内容 [编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n !+… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。