被称为复有效折射率，其表达式根据上述推导可知为
在光子透射带， ，负折射率虚部为0
在光子禁带， ，此时复有效折射率 就能很好的描述光在光子晶体中的传播行为。
可以把复有效折射率定义为真空中的光速，与光在介质中的有效相位速度 的比值。其中 ，称为复有效波矢。所以，式 很好地表达了光子晶体一般的色散关系。
以上思路是从光的复透射系数入手，根据禁带现象，经过合理的光衰减假设得到“有效波矢”和“有效折射率”的表达式。
2.3
时域有限差分法主要用于电磁场计算，亦可用来解决光子晶体中的电磁场问题并且取得了成功。
用时域有限差分法来求解Maxwell方程的主要步骤是:
1)将Maxwell方程分解成6个分量的标量方程;
2)将空间沿轴向分割为Δx，Δy，Δz表示的小单元—Yee格点，Δt为时间变元，则时空点用( iΔx，jΔy，kΔz，nΔt)表示，简单地用( i，j，k，n)表示;
能带理论最成功之处在于解释晶体的导电性。根据禁带宽度的不同以及电子排布，可以把晶体分为导体、半导体及绝缘体。如果电子未充满某一能带，晶体将表现为晶格原子被“电子海洋”所笼罩，这就是典型的导体——金属晶体的导电性来源。如果能带表现为全满或全空，但是禁带非常宽，晶体电子便非常不容易被激发，表现为绝缘体的性质。显然，如果禁带不是很宽，晶体电子便可能在被赋予能量的前提下穿越禁带，达到上一个能带，使上一个能带成为不完全充满的能带。这种现象在宏观世界中的表现，就是绝缘材料在某些条件之下（高温、压力、光照）具备了良好的导电性，而这种材料通常被称为半导体。
2.1
限于作者的数学物理水平，这里仅对有效折射率法进行讨论。但是其他方法也不是一笔带过，我们要进行一些比较。这里以一维晶体为突破口。
一般说来，色散特性是指介质的折射率随频率变化的关系．为了描述光子晶体这种特殊结构材料的色散关系，这里引入“有效折射率”的概念．对于有限长度、一维光子晶体的色散特性，先从复透射系数开始，设复透射系数为
普通光学棱镜具有色散特性，利用不同的波长折射率不同，实现分光，但是一般情况下，制作棱镜的材料折射率对光波长变化不很明显，典型的波长分辨本领是0.38nm-0.8nm。而利用光子晶体结构带边强烈的非线性色散特性，一般在布里渊区边界附近，该区的折射率变化也就会非常大。
文献[9]中利用二维三角排列的光子晶体实现了高分辨率的分光，他们选取各个主要对称点处的色散各向同性的三角晶格光子晶体来率不会由于传播方向的改变而发生大的改变，这样所测的折射率的变化仅仅由波长的改变而引起，使数据分析简单化。他们的结果显示了在微波段85~112GHz，晶体的有效折射率变化最大可达到20%。他们根据归一化频率预测，如果将该光子晶体设计成波长为700nm的可见光频段时，相应的光子晶体尺寸只需15-20μm，而性能不会改变。
2.4
多极法是一种较新的数值计算方法,最早由White和Kuhlmey等人提出,适合于快速计算由圆柱形空气孔构成的微结构光纤。其主要思想是把每个空气孔周围的场分量用傅里叶-贝塞尔函数展开,然后把这些函数联立,加入边界条件,组成一个方程组。通过寻找系统矩阵行列式的零点来确定传播常数,利用其实部就可以计算色散。
3.2光子晶体能带带边特性
光子晶体能带的带边也有两个重要的特性，其一是本征模式的群速度变的很小，其二是光子晶体在带边可以有很大的色散，即相速度色散，可以导致超常折射。另外，光子晶体的带边也可以通过合适的设计，使得光子晶体的群速度色散很大，导致很小的入射角改变就可以引起很大的折射角改变，Kosaka首次把这种特性定义为超棱镜。
3.光子晶体的特性描述
3.1光子晶体能带带内特性——色散效应导致负折射率
光子晶体能带复杂的带内色散特性，使得光子晶体具有许多奇异的现象，比如光子晶体可以和左手材料一样，有负的折射率。
Veselagoo于1968年首次提出了负折射概念，直到1996年英国皇家学院的Pendry等从理论证明利用一种共振环和金属丝组成的周期结构可以实现负折射效应，才引起广泛关注，这种新型人工电磁介质材料成为前沿和热点研究领域，2003年被《Science》杂志列为十大科技突破之一。
Abstract
Photonic Crystal, whoseexistence is based on thetheory similar to the Energy band theory, has been becoming increasinglya well-developing issue for research. Its periodical structure causes the dispersion among different light waves, some of which will not be propagated in this kind of crystal. There are several theories to explain the feature of the photonic crystal. The method of Effective Index of Refraction Theory and the plain-wave method are mentioned in detail in this review, which are the most representative to clear out the periodic structure ofphotonic crystal, and the emergence of the Optics Band Gap. There are also several convenient means to prepare the multi-dimension crystals.photonic crystalwill be used commonly in three different ways, the negative index of refraction which emerged from the energy band inside, the super lensing efforts invented on the edge of the band, and the light gate using the band gap. Hence, the photonic crystalhas the potential to be explored by the researchers.
式中，
是光透过介质传播时，总的相位移动。复透射率 可以用传输矩阵的方法计算。 这个参量包含了分层介质结构的所有的信息，如各层介质的折射率、各层的厚度、总的层数等等．整数m的选取应使 是单调递增函数，并且当 时，m=0．
仿照光在均匀介质中的传播，可以把透射场中总的相位积累表示为
式中，D是一维光子晶体总的几何长度，c是真空中的光速， 是有效波矢，而 是与晶体结构有关的有效折射率。
Harbin Institude of Technology
论光子晶体的性质、制备及应用
Features, Preparing, and Applications of the Photonic Crystal
哈尔滨工业大学英才学院
班级：1140005班
姓名：魏亚东
学号：7111100503
2012/11/4
负折射率的出现，是通过光子晶体结构的变化实现群速度的调制，某些光子晶体中的衍射可以激发相速度和群速度方向相反的波，光子晶体的等效折射率小于零，类似于左手材料，即可以出现负折射现象。[3]
由于光子晶体结构设计多种多样，利用光子晶体实现负折射可以有多种选择，比如2002年Luo等证明在二维正方晶格光子晶体的最低阶能带可以实现全角负折射。[4]2004年，X. Wang等发现二维三角晶格光子晶体也可实现负折射效应。[5]
3)用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，精确到二阶。
如此就可以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur边界条件，使求解的有限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征，无明显反射，不会引起内部空间场的畸变。这样处理后就可求解Maxwell方程了。
等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把光子晶体等效为传统的阶跃折射率光纤。因此应用具有一定的局限性。
2.2
平面波法是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。它应用Bloch定理，将电磁波在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开；将Maxwell方程组化成本征方程，然后求解得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。这种方法的优点：思路清晰，易于编程；缺点是计算精度和计算量决定于平面波的数量，尤其是当结构复杂且有缺陷时使用的平面波数量太多，计算量太大而无法完成。当介电常数非恒定时，没有一个明确的本征方程，展开时可能发散，根本无解。
根据能带理论的原理表述，在某些频率范围内的光子不能在光子晶体中传播．因此，光子晶体的有效折射率应该是复数，并且在光子禁带有很大的虚部分量，以至于在光子禁带有接近100%的散射衰减，或者光被全部反射，形成消散场模式。
根据复透射系数的表达式 ， ，因此 。
我们假定单位振幅的入射光场衰减了 ，其中
因此，
令
关键词：能带理论光子晶体有效折射率光学特性制备
1.从能带理论到光子晶体
光子晶体，根据全国科学技术名词审定委员会的定义，是在介电常数(折射率)随光波长大小周期性巨大变化的人工晶体。光子晶体是相对于电子晶体而言，它们具有共同的理论基础：晶体的能带理论。
能带理论把一切晶体看成一个大“分子”，分子由许许多多个原子组成。由于原子之间的成键作用，多个原子，同一原子能级的电子轨道发生重叠、杂化，产成许多能量相差极小能级。几乎连续的能级形成能带，电子按泡利不相容原理和能量最低原理依次填入能带之中。最终形成了晶体的稳定结构。我们按照能量大小顺序排列能带，可以形成一张能带排布图（如下所示）。我们不关心电子在上面如何排布，但是我们知道电子一定不可能存在于两条能带之间的A区域，这个处在两能带之间的区域是电子的禁区，于是被称为电子的禁带。