y1
σdA
y FN2
pn : N1
A1 dA
M
M
A1 I z y1dA I z
A1 y1dA
p1n1
:
N2
M
dM Iz
A1 y1dA
pp1 : dQ' 'bdx
目录
§11-4 对称弯曲切应力
X 0, M dM
Iz
M A1 y1dA I z
A1 y1dA 'bdx 0
（1）求截面形心 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 203 12
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
38
目录
§11-5 梁的强度条件
2.5kN.m 4kN.m
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
m m1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
q
σdA y
FN2
z
y
q1
y1
' dM ( 1 ) dx I zb
A1 y1dA
dM
dx
Fs ,
A1
y1dA
S
* z
,
'
,
Fs
S
* z
Izb
§11-4 对称弯曲切应力
3 FS 2A
目录
切应变
§11-4 对称弯曲切应力
Fs
h2 (
y2)
G 2IzG 4
第十一章 弯曲应力
Chapter11 Stresses in beams
目录
第十一章 弯曲应力
§11-1 引言
§11-2 对称弯曲正应力 §11-3 惯性矩与平行轴定理 §11-4 对称弯曲切应力 §11-5 梁的强度条件 §11-6 梁的合理强度设计 §11-7 双对称截面梁的非对称弯曲 §11-8 弯拉（压）组合
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
Mymax IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
16
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
3. 全梁最大正应力
30 最大弯矩
K
z Mmax 67.5kN m
y
截面惯性矩
Iz 5.832105 m4
max
M max ymax IZ
32
矩形截面 空心圆截面
空心矩形截面
IZ
bh3 12
IZ
D4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0 h03 12
bh3 12
) /(h0 / 2)
19
目录
§11-3 惯性矩与平行轴定理
已知任意形状的截面(如图) 的面积A以及对于形心轴xC和 yC的惯性矩I xC，I yC ，现需导 出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix， Iy。截面的形心C在x，y坐标 系内的坐标为
材料的许用应力 60MPa.
分析（1）
max
M
y max max Iz
max M max
Wz
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最
小的截面 33 目录
§11-5 梁的强度条件
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fb Fa
max
MB WzB
Fa
d13
62.5
267 0.163
32
32
C截面：
41.5106 Pa 41.5MPa
max
MC WzC
Fb
d
3 2
62.5160 32
0.133
46.4106 Pa
46.4MPa
32
（5）结论 轴满足强度要求
34
目录
§11-5 梁的强度条件 例题11-3
从而有
I x I xC a2 A
21
§11-3 惯性矩与平行轴定理
I x I xC a2 A 同理可得 I y I yC b2 A
以上两式就是惯性矩的平行移轴公式。
22
§11-4 对称弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
一、矩形截面梁
y
P m m1 q(x)
m
b
m
h
m1
Fs
A
n n1
目录
回顾与比较
§11-1 引言
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
FS
目录
§11-1 引言
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力；
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
目录
mM
m FS
m
m FS m M
4
m
纯弯曲
§11-1 引言
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
deformation geometric relationship
三、静力学关系 FN、My、Mz
1 M
EIZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z
1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式 My
IZ
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
§11-5 梁的强度条件
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据
max
M max Wz
计算
(6.7 50) 103 9.5
Wz
M max
4 140106
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
36c工字钢 Wz 962 cm3
（5）讨论 q 67.6kg/m
36
目录
x
dx
Bx
z
y
p
O
p1 n
q1
x
n1
关于切应力的分布作两点假设：
dx
y
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
目录
§11-4 对称弯曲切应力
讨论部分梁的平衡
m
m1
m m1
M
M+dM
τ’
y
p p1
n dx n1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
z
q
y
q1
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
二、物理关系
胡克定理 E E y
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
Distribution regularity of stress
67.5103 180 103
2 5.832 105
104.17 106 Pa 104.17MPa
17
目录
§11-2 对称弯曲时的正应力
q=60kN/m
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m