31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），直线l 是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点A （－1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式； （3）点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x轴都相切，求点P 的坐标．32．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（－2，2），平行四边形OABC 的顶点A 、B 在此抛物线上，AB 与y 轴相交于点M ．已知点C 的坐标是（－4，0），点Q （x ，y ）是抛物线上任意一点． （1）求此抛物线的解析式及点M 的坐标； （2）在x 轴上有一点P （t ，0），若PQ ∥CM ，试用x 的代数式表示t ；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得△BAQ 的面积是△BMC 的面积的2倍？若存在，求此时点Q 的坐标．33．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），平移抛物线y ＝x2，使平移后的抛物线过A 、B 两点． （1）求平移后抛物线的函数表达式；（2）设（1）中抛物线的顶点为C ，D 为y 轴上一点，且S △ABD＝S △ABC，求点D 的坐标； （3）请在图2上用尺规作图的方式探究（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．图1图234．如图，抛物线y ＝－14x 2＋4交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，连接AC 、BC ，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连接BF ，交DE 于点P ．（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）求证：BF ⊥AB ；（3）连接CP ，记△CPF 的面积为S 1，△CPB 的面积为S 2，若S ＝S 1－S 2，试探究S 的最小值．35．已知抛物线y ＝－x2＋2mx －m2－m ＋3． （1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）若抛物线与x 轴交于M 、N 两点，当|OM |·|ON |＝3，且|OM |≠|ON |时，求抛物线的解析式；（3）若（2）中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点A ，点P 为抛物线对称轴上一动点，PD ⊥AC 于D ．是否存在点P ，使S △P AD＝14S △ABC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，已知点F 的坐标为（0，1），过点F 的直线与抛物线y ＝14x 2交于A 、B 两点，直线y ＝－1与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ． （1）判断以线段AB 为直径的圆与直线y ＝－1的位置关系并说明理由；（2）若以AB 为直径的圆与y 轴交于C （3－21 2，0）、D （3＋21 2，0）两点，求直线AB 对应的函数解析式；（3）求证：∠ACF ＝∠BCF ；（4）△ABC 的面积是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．37．如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点A （2，3）、B （6，1）、C （0，－2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP ⊥CP 时，求点P 的坐标； （3）设直线BC 与x 轴交于点D ，点H 是抛物线与x 轴的一个交点，点E （t ，n ）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S ．当S 取何值时，满足条件的点E 只有一个？当S 取何值时，满足条件的点E 有两个？38．已知抛物线y 1＝x2＋4x ＋1的图象向上平移m 个单位（m ＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2＝a (x －h)2＋k 的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象，请写出这个图象对应的函数y 的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在－3＜x≤－32时对应的函数值y 的取值范围； （3）设一次函数y 3＝nx ＋3（n ≠0），问是否存在正整数n 使得（2）中函数的函数值y ＝y 3时，对应的x 的值为－1＜x＜0，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．39．如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ ＝34AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．（2）当tan α＝12时 ①求正方形A 1BC 1D 1与正方形ABCD 重叠部分的面积；②在抛物线的对称轴上存在点P ，使△PC 1D 1为直角三角形，求点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QC 1D 1为等腰直角三角形？若存在，求此时tan α的值；若不存在，请说明理由．41．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．备用图 备用图42．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O 、点A （10，0）和点B （2，2），在线段O A 上，点P 从点O 向点A 运动，同时点Q 从点A 向点O 运动，运动过程中保持AQ ＝2OP ，当P 、Q 重合时同时停止运动．过点Q 作x 轴的垂线，交直线AB 于点M ，延长QM 到点D ，使MD ＝MQ ，以QD 为对角线作正方形QCDE （正方形QCDE 随点Q 运动）． （1）求这条抛物线的函数表达式；（2）设正方形QCDE 的面积为S ，P 点坐标为（m ，0），求S 与m 之间的函数关系式； （3）过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，延长PN 到点G ，使NG ＝PN ，以PG 为对角线作正方形PFGH （正方形PFGH 随点P 运动），当点P 运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH 的边GF 和正方形QCDE 的边EQ 落在同一条直线上．①则此时两个正方形中在直线AB 下方的阴影部分面积的和是____________；②若点P 继续向点A 运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P 的坐标，不必说明理由．43．己知：二次函数y ＝ax2＋bx ＋6（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程x2－4x －12＝0的两个根． （1）请直接写出点A 、点B 的坐标；（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标；（3）如图l ，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点Q 作QD ∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标（m ，0），当△CDQ 面积S 最大时，求m 的值．图1 图244．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＋∠CDA ＝90°，且tan ∠BAD ＝2，AD 在x 轴上，点A 的坐标为（－1，0），点B 在y 轴的正半轴上，BC ＝OB ．（1）求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；（2）动点E 从点B （不包括点B ）出发，沿BC 运动到点C 停止，在运动过程中，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠，得到四边形A 1B 1EF ，点A 、B 的对应点分别是点A 1、B 1，设四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分．．．．的面积为S ，F 点的坐标是（x ，0）．①当点A 1落在（1）中的抛物线上时，求S 的值； ②在点E 运动过程中，求S 与x 的函数关系式．45．如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋8（a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0）、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠ABC ＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得经过点P 的直线PM 垂直于直线CD ，且与直线OP 的夹角为75°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF46．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝3x ＋3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 点坐标为（0，1），连接AC 并延长到D ，使∠ADB ＝∠ABC ． （1）求D 点坐标；（2）求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）若P 是线段AD 上一动点，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点H ，当线段PH 的长最大时，求P 点坐标；备用图（4）在（3）的条件下，将△ABD 在坐标平面内平移 ①若平移后点H 是AD 边中点，求点A 的坐标； ②若平移后点H 在△ABD 的内部（不包括三条边），设点A 坐标为（m ，n ），求m 、n 的取值范围．47．在平面直角坐标系中，对称轴平行于y 轴的抛物线经过原点O ，其顶点坐标为（3，－92），Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴上，直角顶点C 的坐标为（12，0），且BC ＝5，AC ＝3（如图1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）将Rt △ABC 沿x 轴向右平移，当点A 落在（1）中所求抛物线上时，Rt △ABC 停止移动．D （0，4）为y 轴上一点．设点B 的横坐标为m ，△DAB 的面积为S ．①分别求出点B 位于原点左侧、右侧（含原点O ）时，S 与m 之间的函数关系式，并写出相应自变量m 的取值范围（可在图1、图2中画图探求）；②当点B 位于原点左侧时，是否存在实数m ，使得△DAB 为直角三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．48．如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ．图2图1①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．49．如图，抛物线y ＝ax2＋bx（a ＞0）与双曲线y ＝kx相交于点A ，B ，已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A （－3，0），点B （1，0），交y 轴于点E （0，－3）．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y ＝－x ＋m 过点C ，交y 轴于D 点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．备用图备用图51．抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与y 轴交于点C （0，－2），与直线y ＝x 交于点A （－2，－2），B （2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN 在线段AB 上移动（点M 与点A 不重合，点N 与点B 不重合），且MN ＝2，若M 点的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．52．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （－2，－4），OB ＝2，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上的一点，试求MO ＋MA 的最小值； （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点P 、O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．53．在直角坐标系xo y 中，已知点P 是反比例函数y ＝23x（x ＞0）图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP的面积是菱形ABCP 面积的1254．如图，已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．55．如图，y 关于x 的二次函数y ＝－33m(x ＋m )( x －3m)（m ＞0）图象的顶点为M ，图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心为C ．定点E 的坐标为（－3，0），连接ED ．（1）写出A 、B 、D 三点的坐标；（2）当m 为何值时，M 点在直线ED 上？判断此时直线ED 与⊙C 的位置关系；（3）当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图．O S m56．巳知二次函数y ＝a ( x2－6x ＋8)（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O ′ '恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段P A 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段P A 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．57．在平面直角坐标系xO y 中，关于y 轴对称的抛物线y ＝－m －1 3x 2＋ ( m －2)x ＋4m －7与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，3）是y 轴上的一点．（1）求抛物线的解析式及点P 的坐标；（2）若E 、F 是y 轴负半轴上的两个动点（点E 在点F的上方），且EF ＝2，当四边形PBEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标；（3）若Q 是线段AC 上一点，且S △COQ ＝2S △AOQ ，M 是直线DQ 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在一点N ，使得以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．58．如图，在平面直角坐标系中，点A （m ，6）（0＜m ＜3），B （n ，1）为两动点，且OA ⊥OB ．（1）求证：mn ＝－6；（2）当S △AOB ＝10时，抛物线经过A 、B 两点且对称轴为y 轴，求该抛物线的解析式；（图①）（图②）（3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P 、Q 两点．是否存在直线l ，使S △POF : S △QOF ＝1 :3？若存在，求直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．59．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，－2）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D ．若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF60．如图，抛物线y ＝ 1 2x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．（1）求a 的值；（2）求A ，B 两点的坐标；（3）以AC ，CB 为一组邻边作□ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点D ′ 是否在该抛物线上？请说明理由．。