成果集锦
球体积公式的极限法推导
本文的目的在于使学生明白，球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法。

定理半径为R的球，其体积V=4/3πR3．
证明：考虑半球，将其大圆弧分为2n等份（如图），过分点作球大圆的平行截面，设第i个截面（自下而上）的半径为r I，其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θi=iπ/2n，i=0，…，n（ro=R，r n=0）．第i-1与第i个截面间的距
n
离为h i，以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖi，则可以证明Ｖ＝２lim∑Ｖi.
n→∞=1
我们来计算V i．由于r i=Rcosθi，r i-1= Rcosθi-1，h i=R(sinθi-sinθi-1)，应用圆台的体积公式，有
V i=1/3π(r i2+r i-12+ r i r i-1)h i
cos3θi－cos3θi-1
=1/3πR3 (sinθi-sinθi-1)
cosθi－cosθi-1
把θi的值代入，经适当的三角变换，得
1 13(2i-1) 3π (2i-1)π 3π
V i= —πR3[—cos sin +cos (sin +
3 2 4n 4n 4n 4n
3 π
—sin )]
24n
n sin2nθ
应用公式∑cos(2k-1)θ=，将上式两边关于i由1到n求和，得 k=1 sinθ
3π
sin
n 1 1 4n
∑V i=—πR3（—+ ）。

i=1 3 2
2sinπ
4n
3π
sin
由于lim sinx =1，则lim 4n = 3
x→0 x n→∞2sin π2
4n
上式两边对n→∞取极限，即知
n 1134
Ｖ=2lim∑Ｖi ＝2·—πR3(—+ —)= —πR3．
n→∞i=1 3 2 2 3
（湖北省黄石市二中杨志明）
（发表于《中学数学教学参考》2000年第3期）。