WoRD格式整理2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置•用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第I卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.设集合A = {χ X2—4x+3<0}, { X2X-3A0},则AnB =2. 设(1 +i)x =1 + yi ,其中X)y是实数，则x + yi =(A) 1 (B) 2 (C) .3 (D) 23. 已知等差数列Can?前9项的和为27,印0 =8 ,则印00 =(A) 100 ( B) 99 (C) 98 ( D) 97 4.某公司的班车在7:00, 8:00, 8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)1 1 2 3(B) (C) 2( D) 35.已知方程2 2—X y— =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是m n 3m-n(3)(C) 1,2(D)WoRD 格式整理1 （A ） -1,3 （B ） -1,、、3 （C ） 0,3 （ D ） 0,、、36. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是 2^ ,则它的表面积是3（A ）17 二 （B ）18 二 （C ）20 二（D ）28二7. 函数y =2x 2 -e ∣x 在丨-2,2 1的图像大致为(A ) a c ：：b c ( B ) ab c ：： ba c (C ) a log b c ：： blog a c (D )log a C ：：log b C9.执行右面的程序框图 ,如果输入的x=0, y =1, n=1,则输出x,y 的值满足 （A ） y =2x （ B ） y =3x（C ） y = 4x （ D ） y = 5x10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交 C 于A 、B 两点，交C 的准线 于D 、E 两点.已知IABl= 4 2 ,∣DE ∣= 2、、5 ,则C 的焦点到准线的距（A ）2 但）4 （C ）6 （D ）811.平面〉过正方体ABCD-A I B I C I D I 的顶点A/ 〃平面CB i D i ,:I 平面ABCD =m∕ I 平面AB B ιA ι=n,则m 、n 所成角的正弦值为(A)(C)于(D)3WoRD 格式整理(A ) 11 ( B ) 9 (C ) 7 ( D ) 5二、填空题：本大题共 3小题,每小题5分13. 设向量 a=(m,1)，b=(1,2),且 ∣a+b ∣ =∣a ∣+∣b ∣ ,贝U m= ___ . 14. (2x ∙ .X)5的展开式中，χ3的系数是 _____________•(用数字填写答案)15. _____________________________________________________________________ 设等比数列Yanf 满足a 1+a 3=10, a 2+a 4=5 ,贝U a 1a 2 ∙∙∙an 的最大值为 __________________________________ 16. _______________________________________________________________________________ 某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg , 乙材料1kg ,用5个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时.生产 一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材 料90kg ,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 _________________________________________ 元. 三. _______________________________________________________________________________________ 解答题：解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分为12分)LABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2cosC(acosB+b CoSA)=c.(I )求 C ；(II )若C =辭, ABC 的面积为 3^3 ,求 ABC 的周长.218. (本小题满分为12分)如图，在以 A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方 形，AF=2FD , ■ AFD =90〃，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 .j >1⅛JiAJL JL12.已知函数 f (x)=sin(ccx+9)(国 >0, ® ≤ —)，X =—— 为 f (x)的零点2 4π为^f(X)图像的对称轴，且■的最大值为在贝WoRD格式整理(I)证明：平面ABEF _平面EFDC ;(II )求二面角E-BC-A的余弦值.119. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（I）求X的分布列;（II ）若要求P（X _n） _0.5,确定n的最小值;（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n = 20之中选其一，应选用哪个？2 220. （本小题满分12分）设圆X y ∙2x-15=0的圆心为A,直线I过点B（1,0）且与X轴不重合，I交圆A 于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EA + EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II ）设点E的轨迹为曲线C1,直线I交C1于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.-X * 221. （本小题满分12分）已知函数f X =x-2e ∙ax-1有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1,x2是f X的两个零点，证明：x1■ X2：：：2 .请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲1如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°以0为圆心，—OA 为半径作圆.2(I) 证明：直线AB 与Θ 0相切；(II) 点C , D 在Θ 0上，且 A , B , C , D 四点共圆，证明： AB // CD.23. (本小题满分10分)选修4— 4 :坐标系与参数方程X = a COSt在直角坐标系XOy 中，曲线C i 的参数方程为(t 为参数，a > 0).』=1 +as int在以坐标原点为极点， X 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2: P= 4 COST .(I )说明C i 是哪一种曲线，并将 C i 的方程化为极坐标方程；(II )直线C 3的极坐标方程为 V - >o ,其中：0满足tan 〉0 =2 ,若曲线C i 与C 2的公共点都在 C 3 上，求a .24. (本小题满分10分)选修4— 5 :不等式选讲 已知函数 f (X )= x+1 — 2x —3 .(I) 画出y = f X 的图像； (II) 求不等式f (x R 1的解集.y j厂11X2016年高考全国1卷理科数学参考答案3故 AnB= X 3 ：： X ：： 3 •2故选D .(X - 1 f X - 12. 由 1 i X=I yi 可知：XXi=Vyi ,故，解得： × = y卜=1所以，X y^ X 2 y z = 2 . 故选B .3. 由等差数列性质可知： S θ =9~a1埜经=9a^27 ,故a 5=3 ,2 2而a 10 =8，因此公差d =a ° -5-110-5• ∙ a 100 二 a® 90d =98.故选C .4. 如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30-------- ------- ■ ■ 」 ■ ■ACD B小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10分钟根据几何概型，所求概率1∙ A = ：x χ2 —4X 3 ：： 0 ： = 1 ：： x 3 /, B ={.X 2x —3 0∖ =40 2故选B.WoRD 格式整理 WoRD格式整理 2 25. -2χ y —— =1 表示双曲线，则 m 2 ∙ n 3m 2 _ n i∙>0m 亠n 3m -n-1 ：：： n ：：：311后的三视图8表面积是7 8的球面面积和三个扇形面积之和7 2 1 2S= 4 ：： > 2 +32 =17二8 4故选A . 2 27. f 2 =8 -e 8 -2.80 ,排除 Af 2 =8-e 2 ：：8 -2.72 ：：:1 ,排除 BX 0 时，f X =2x^e x f X = 4x -e x ,当 x ：- 10,寸 时,f X ：：寸 4 一e ° = OF F I )因此f X 在0,丄单调递减，排除 CI 4丿 故选D .8. 对A :由于0 ：：：c ：：：1 ,•函数y=χc 在R 上单调递增，因此 a b ∙1=a c b c , A 错误对B :由于-V ： C-V ：0 ,•函数y =χc °在1「：上单调递减，由双曲线性质知： c = m ∙n 广ι.3m -n =4m ,其中C 是半焦距 22•••焦距 2c = 2 2m =4 ,解得 m=1：：：n ：： 3m-m故选A .8• a b 1= a c1：：b c° = ba c：：ab c, B 错误WoRD 格式整理对C :要比较alog b C 和blog a C ,只需比较anc和bnc,只需比较^n -C和-^nC,只需blnb Inb Inablnb alna和 alna构造函数 f (X)=Xln X (X A I ), 贝 U T(X )=I nx +1>1>0, f(x )在(1,亦)上单调递增, 1 1 因此 f a ∣∖ f b I-O= alna blnb . 0：二a I nab I nb又由 O ：：c ：：：1 得 In c ：：：0,「. — J nC =Ina Inb故选C . 9. 如下表:循环节运 行次数 (+ n -1 X l l X X =X + ----- I 2 Jy(y = ny )判断 2 2X +y >36是否输出 n(n =n +1)运行前 01 / / 1第一次 0 1 否 否 2 第二次 12 2 否 否3第三次3 26是是3输出X , y =6，满足y =4x 故选C .以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为y 2=2px P 0 ,设圆的方程为又由 0 ：：： C ：：：1 得InC ：：：0 ,「•-InC对D :要比较log a C 和log b c ,只需比较lncu blog aC ：： alog∪ C , C正确 bl nb lnc 和 ln cln b 而函数y=lnx 在1,;上单调递增，故1 1 a b 1 ：= Ina Inb 0：=Ina Inblog a c log b C ，D 错误 10. 设 A X 0,2 2 ,y 2r题目条件翻译如图:WoRD格式整理WoRD格式整理点A x0,2.2在抛物线y2=2px上，∙∙∙8=2px0……①点D 一討5在圆X2V上，•••5吗点 A X o,2、. 2 在圆X y上，• x0 • 8 = / ........................ ③联立①②③解得：P =4 ,焦点到准线的距离为P =4 .故选B.••• ：7/平面CB i D i, •••若设平面CBD Irl 平面ABCD=mι,贝U m1 / m又•••平面ABCD //平面A I BGD I,结合平面B1D1C ∏平面A I BC I D i =Bd • B1D1/ m1,故B1D1// m同理可得：CD, n接下来用排除法若=11, ，此时f (X)=Sin ∣11x -4 I 4丿足f(x)在-π,5π单调匕8 36丿11.如图所示:故m、n的所成角的大小与BD、CD1所成角的大小相等，即■ CDE的大小.而BQ =BQ =CD (均为面对交线)因此一CD1B1：3即Sin. CD1B1 = 故选A.12.由题意知:-π■+= k1π4ππ--■+ % 时一4 2贝U ∙=2k 1 ,其中k Zπ 5 π τ・f (x)在，单调，V , V8 36 丿π .T,-1236 18 12 21 π 3π 3 π 5 π，f (X)在爲丿递增，在1—,二4436递减，不满C所以a 1a2…a n的最大值为64.16. 设生产A 产品X 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为若屏=9,即=π,此时f (X) =sin 9x ∙π,满足f(x)在 —,5π单调递减4I 4 丿(18 36 丿13.-214.1015. 6416. 21600013. 由已知得：a b = m 1,3二 a +b 2=E 2(m +1 丫 +32 =m 2 +12 +12 +22 ,解得 m =-2 .14. 设展开式的第k 1项为T k I , k∙ ∙⅛,1,2,3,4,5 ?k k∙∙∙ Ty=c 5 (2x 5±(√X ) =c 525∙E Xj .k 5」当 5 —k =3 时，k =4 ,即 T 5 =C 425*X F =10x 32故答案为10.15.由于是等比数列，设a^a 1q nj ,其中α是首项,q 是公比.a 1 a 3 =10∙ ∙ :二 a 2 a 4 二 5■ 2a1 a1q『° ,解得: a 1q a 1q =5a 1 =8 q冷■卄 J m r (I∙∙ a1 a …a.：!n n_7当n =3或4时,2Λ49 4取到最小值-6 ,此时249 1 ■4取到最大值26 .WoRD 格式整理X 十 0.3j? ≤ 90 5^ + ⅛≤S00 * x⅛0 J⅛0目标函数 z =2100x 900y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0) 在(60,100)处取得最大值，z =2100 60 900 100=21600017. 解：⑴ 2cosC a cos B bcosA =C由正弦定理得： 2cosC Si nA CoSB 亠 Si nB cos A =Si nC2cosC Sin A B =SinC∙∙∙ A B C = π, A 、 B 、 C "0, ∏ .∙. Sin A B =SinC 01• ∙ 2cosC =1 , cosC -2∏ ∙∙∙ C G0, ∏∙ C=π3⑵由余弦定理得：c 2 =a 2 b 2 -2ab CoSC2 . 217 =a b -2ab2a ■b ∖ -3ab = 7 1 3 3 3 S ab Sin C ab =2 4 2∙ ab =6 • (a +b J -18 =7a b =5• △ ABC 周长为 a b71 ⅛ + 0.5∕≤15(]町行域为:WoRD 格式整理18 •解：⑴∙∙∙ ABEF 为正方形∙∙∙ . AFD =90∙ AF _DF ∙∙∙ DFnEF=F∙ AF _面 EFDC AF _ 面 ABEF∙平面ABEF _平面EFDC ⑵由⑴知.DFE =∕CEF =60 ∙∙∙ AB Il EF AB 二平面 EFDC EF 二平面 EFDC ∙ AB H 平面 ABCD AB 二平面 ABCD•••面 ABCDn 面 EFDC =CD∙ AB H CD ∙ CD H EF∙四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设 FD r aEB=（0,2a ，0 ），忌出，_2a ,逅a' I P C 2 设面BEC 法向量为m = X ，y ，Z . 42 a y 1 =0 即旦 Ξ X1E0，0，0 B0,2a ，0C i a , 0，-^a2 2A 2a ，a ， 0一1设面ABC 法向量为nχ2 ， y 2 ， z 2卢Tn BC=0 .即 n AB =02χ2 -2ay^^3az 2 =0 2aχ2 =0X 2 =0, y 2 = 3,Z 2 =4∙∙∙ AF _ E FAB= -2a ，0，0m 弩0， m BC = 0-2ay ι3a Z i = 02n = 0 , 3 , 4设二面角E — BC - A 的大小为亠m n-4 2/19 Cz飞n 【3,3—16」育.∙.二面角E - BC - A 的余弦值为一乙卫1919解：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8, 9, 10, 11记事件A 为第一台机器3年内换掉i 7个零件i =123,4 记事件B i 为第二台机器3年内换掉i ∙7个零件i =1,2,3,4 由题知 P A =PA 3 =PA i=PBl=P B 3 =P B 4 =0.2，P A 2 = PB ? =0.4设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则X 的可能的取值为16，17，18，19， 20， 21， 22P X =16 i=P A P B I i=0.2 0.2 =0.04 P X =17 i=P A PB 2 P A 2 PB I T= 0.2 0.4 0.4 0.2 =0.16P X =18 [=P A 1 P B 3 P A 2 PB 2 P A 3 PB 1 [=0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 =0.24 P X =19 ]=P A 1 PB 4 P A 2 PB 3P A 3 PB 2 P A 4 P B 1 i=0.2 0.2 0.20.2 0.4 0.20.2 0.4=0.24P X =20 I=P A 2 P B 4 P A 3 P B 3PA i PB 2i=0.4 0.20.2 0.4 0.2 0.2 =0.2P X = 21 =PABPB 4 P A 4 P B 3 =0.2 0.2 0.2 0.2 =0.08 P X =22 =P A 4 P B 4 =0.2 0.2 =0.04X 1617181920 21 22P0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04⑵要令 P X ≤ n ≥ 0.5，7 0.04 0.16 0.24 ：：0.5，0.04 0.16 0.24 0.24≥ 0.5 则n 的最小值为19⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足 时额外购买的费用当 n =19时，费用的期望为 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04=4040 当 n =20时，费用的期望为20 200 500 0.08 1000 0.04=4080所以应选用n =19BE//AC ,则 ∠ C =∠ EBD ,由 AC =AD,则∠ D =/C ，∠ EBD = ∠ EB=ED.AE EB =AE ED =AD =42 2所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为 H =1，( y=0 )；4 3-420.(1)圆A 整理为X 1 2 y 2 =16，A 坐标-1,0 ,如图,2 2X V⑵ C 1 :1 ;设 I : X = my 1 ,43因为PQ ⊥ I ,设PQ : y = _m X _1 ,联立|与椭圆G -L X =my 1 x 2 y 2得 3m 2 4 y 2 6my -9 = 0; 14 3贝U二 S MPNQ=11 MN | '| PQ12'mT 4^3m ^4 =2；J m 片 22 3m 4 ,1 m 2. 3m 2 421. (I) f'(x) =(x -1)e x 2a(x -1) =(x -1)(e x 2a). (i )设 a = 0 ,则 f (X )=(x - 2)e x , f (x)只有一个零点.(ii )设 a 0,则当 X (-：：，1)时，f '(x) ：： 0 ； 当 X (1,：：)时，f '(x) 0 •所以 f(x)在(-：：,1) 上单调递减，在(1,咼)上单调递增.又 f(1) = -e , f(2) =a ,取 b 满足 b ： 0且b In α ,贝y2a 228f (b) (b -2) a(b-1)2 =a(b 2b) 0 ,故f (x)存在两个零点.IMN H⅛1 m 2 |y M 一孤 I Y I m 2■ 36m 2 36 3m 2 412 m 2 1 3m 2 4 2 ，3m 4圆心A 到PQ 距离d 」B 一1 一1 |VVH m 24m 2 4. 3m 2 41=24LT m +1∣∣12,8. 3|2m|所以 |PQ | = 2. |AQ |2 -d 2 =2 1 m 2, 1 m 2，(iii)设a ：： 0 ,由f '(x) = 0 得x=1 或X = In (-2a) •e若a - -2 ,则In(-2a)^1 ,故当X (1/::)时，f'(x) • 0 ,因此f (x)在(1, = )上单调递增.又当x^1时，f(x) ：：：0 ,所以f (x)不存在两个零点.若a ：：-扌，则In(-2a) 1 ,故当X (1,ln(-2a))时，f '(x) ：：0 ；当X (In(-2a),二)时，f'(x) 0 •因此f(x)在(1,l n( - 2a))单调递减，在(In (-2a),二)单调递增•又当X乞1时，f (x) ：：：0 ,所以f (x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0, =：) •(不妨设x ：：X2,由(I)知X「(-::,1), X2 (1, F), 2 _ X2 (_二,1), f (x)在(-：：,1)上单调递减，所以X1X2::：2等价于f(x1) ∙f(2 -x2),即f(2-x2) ：：：0.由于f (2 -X2)=「X2e2^ a(X2 -1)2,而f 区)-2)e x2 a(x^1)^0 ,所以f (2 _x2) = — x2e2^x2 _(x2 _2)e x2.设g(x) = -xe2* -(χ「2)e x,则g (X)=(XT)(e2」-e x).所以当X 1 时，g (x) ：：：0,而g(1) = 0,故当X 1 时，g(χ) ：：：0.从而g(x2) = f (2 -x2) ：：0 ,故x1X2：：2.22•⑴ 设圆的半径为r ,作OK _ AB于K∙∙∙ OA =OB , AOB =120∙∙∙ OK _AB , A =30 ,OA OK=OASi n30r2∙AB与O O相切⑵方法一：假设CD与AB不平行CD与AB交于F2FK =FC FD ①∙∙∙ A、B、C、D四点共圆∙FC FD =FA FB = FK - AK FK BK ∙∙∙ AK =BK∙∙∙ FC FD = FK — AK FK AK =FK 2-AK 2 ②由①②可知矛盾∙∙∙ AB Il CD方法二：因为A, B,C,D 四点共圆，不妨设圆心为OA =OB,TA =TB ,所以0,T 为AB 的中垂线上，同理OC =0D,TC =TD ,所以OT 为CD 的中垂线，所以 AB//CD .X = a cost23 .⑴（t 均为参数） y =1 asi ntb _2P sin T+1-a 2=0 即为C 1的极坐标方程⑵ C 2 : Q =4COS V两边同乘 P 得 0=4PCoS 日 T P 2=χ2+y 2 ,PcosT=X2 2 2 2 .X ^y =4x 即 X-2 y =4 ②C 3 :化为普通方程为 y = 2x由题意：G 和C2的公共方程所在直线即为①一②得：4x —2y • 1 —a 2 =0 ,即为 C 32 ∙ 1 -a =0∙ a =124 •⑴如图所示： X —4 , X ≤ -13 ⑵ f X i=工3x -2 , 一1 ：： X ：：— 24 - X , X ≥ - L 2f （x 卜1∙ G 为以0,1为圆心，a 为半径的圆.方程为2 2 2 X y —2y 1 — a =0 C 3x 2 y 2 =严,y = ：?sin J当X≤-1 , X -4 1 ,解得X 5或X ：：：3 ∙X ≤一1当一1 ：：： X ■：-，2. 1亠3 • • -1 ■■■'. X 或1 ：：： X ：：：3 23综上, 13x 一2 1 ,解得X 1 或X ：：：-3 -,4-X 1 ,解得X 5 或X <3X ：： 3 或X 5∙∙∙ f (X ) Al ,解集为/ I\-■■-, 1 , 3 U 5 , + oCl ）每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济k 3丿效益或者其他积极效果，呈报总经办。