初中数学：《轴对称和中心对称》练习一、扫描与聚集1．我国的文字非常讲究对称美,下列四个图案,有别于其余三个图案是（）A．B． C．D．2．下列图形不一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．正方形C．半圆D．等腰三角形3．观察图中的汽车商标,其中是轴对称图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm,则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间5．在等边三角形ABC中,CD是∠ACB的平分线,过D作DE∥BC交AC于E,若△ABC 的边长为a,则△ADE的周长为（）A．2a B．C．1.5a D．a6．下列说法中,不正确的是（）A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分C．一条线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．两个三角形能够重合,它们一定是轴对称的7．在等腰△ABC中,AB=AC,BE、CD分别是底角的平分线,DE∥BC,图中等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,∠ADE=∠EDB,则图中等腰三角形有（）A．3 B．4 C．5 D．69．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．底角的一半D．底角的2倍10．已知：在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的一点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系为（）A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC二、思考与表达11．如图,是从镜中看到的一串数字,这串数字应为．12．如图所示,在△ABC中,DE是AC的中垂线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是cm．13．等腰三角形底边长为4cm,则腰长x的取值范围是．14．五角星有条对称轴．15．如下图,在△ADC中,AD=BD=BC,若∠C=25°,则∠ADB= 度．16．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°,则顶角是．17．如图,△ABC中,OB平分∠ABC,OC平分∠ACB经过点O且平行BC,BE=3cm,CF=2cm,则EF= cm．18．如图,△ABC中,AB=AC,BD是角平分线,BE=BD,∠A=72°,则∠DEC= ．19．已知等腰三角形的一个角为42°,则它的底角度数．20．如果等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线把三角形分成两个三角形的周长差是4cm．则这个等腰三角形的腰长为．三、应用与实践21．如图,图中的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形,请作出它们的对称轴．22．如图,以等腰三角形ABC的边AB的垂直平分线为对称轴画△ABC的轴对称图形．23．如图,AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线,那么AD与BC平行吗？为什么？24．如图,已知线段CD垂直平分线AB,AB平分∠CAD,问AD与BC平行吗？请说明理由．25．如图,∠XOY内有一点P,在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短．26．如图,已知∠AOB和∠AOB内两点M、N画一点P,使它到∠AOB的两边距离相等,且到点M和N的距离相等．27．已知∠AOB=30°,点P在OA上,且OP=2,点P关于直线OB的对称点是Q,求PQ 之长．28．如图,在△ABC中,C为直角,∠A=30°,CD⊥AB于D,若BD=1,求AB之长．参考答案与试题解析一、扫描与聚集1．我国的文字非常讲究对称美,下列四个图案,有别于其余三个图案是（）A．B． C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形,但不是中心对称图形；B、是轴对称图形,但不是中心对称图形；C、是轴对称图形,但不是中心对称图形；D、既是轴对称图形,也是中心对称．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合．2．下列图形不一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．正方形C．半圆D．等腰三角形【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不一定是轴对称图形,若直角三角形不是等腰直角三角形就不是轴对称图形,B、C、D都是轴对称图形,故选A．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形．3．观察图中的汽车商标,其中是轴对称图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对对称轴,找出每个图中的对称轴,即可选出答案．【解答】解：第一、二、四、五个图形都是轴对称图形,第三个是中心对称图形, 故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义,关键是正确找出每个图中的对称轴．4．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm,则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时,因为2+2＜5,不符合三角形的三边关系,应排除；当腰长是5cm时,因为5+5＞2,符合三角形三边关系,此时周长是12cm．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键．5．在等边三角形ABC中,CD是∠ACB的平分线,过D作DE∥BC交AC于E,若△ABC 的边长为a,则△ADE的周长为（）A．2a B．C．1.5a D．a【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质可得AD=AB,然后判断出△ADE和△ABC相似,根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线,△ABC是等边三角形,∴AD=AB,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵△ABC的边长为a,∴△ABC的周长为3a,∴=,解得△ADE的周长=1.5a．故选C．【点评】本题考查了等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,等边三角形是特殊的等腰三角形,也符合三线合一的性质,作出图形更形象直观．6．下列说法中,不正确的是（）A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分C．一条线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．两个三角形能够重合,它们一定是轴对称的【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质,及两个图形关于某直线对称,对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线得出．【解答】解：A、B符合等腰三角形的三线合一的性质,正确；C、符合轴对称的性质,正确；D、不符合轴对称的性质,不正确．故选D．【点评】此题主要考查了学生对轴对称的性质及等腰三角形的性质的理解．找出每个选项正误的具体原因是解答本题的关键．7．在等腰△ABC中,AB=AC,BE、CD分别是底角的平分线,DE∥BC,图中等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】图中的等腰三角形有6个,分别为：△ABC,△ADE,△BDE,△DEC,△DEF,△BFC,理由为：由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由DE与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到两对角相等,等量代换及等角对等边得到AD=AE,即△ADE为等腰三角形,由BE与CD分别为角平分线,利用角平分线定义得到两对角相等,再由两直线平行内错角相等,利用等量代换及等角对等边得到BD=ED,DE=CE,以及DF=EF,BF=CF,可得出△BDE,△DEC,△DEF,△BFC都为等腰三角形．【解答】解：图中的等腰三角形有6个,分别为：△ABC,△ADE,△BDE,△DEC,△DEF,△BFC,理由为：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴∠ADE=∠AED,即△ADE为等腰三角形；又BE、CD分别是底角的平分线,∴∠DBE=∠EBC=∠ABC,∠ACD=∠DCB=∠ACB,∴∠EBC=∠DCB=∠DBE=∠ACD,∴BF=CF,即△BFC为等腰三角形；又DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∠DEB=∠EBC,∴∠DEB=∠EDC=∠DCB=∠EBC,∴DF=EF,BD=ED,DE=CE,则△DEF、△BDE、△DEC都为等腰三角形．故选D【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,以及角平分线定义,利用了等量代换的思想,熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．8．如图,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,∠ADE=∠EDB,则图中等腰三角形有（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,∠ADE=∠EDB,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理,即可求得各角的度数,继而可求得答案．【解答】解：∵AB=AC,∠A=36°,∴∠C=∠ABC=72°,∴∠1=∠2=36°,∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠2=72°,∵∠ADE=∠EDB,∴∠ADE=36°,∠EDB=72°,∴∠BED=180°﹣∠1﹣∠BDE=72°,∴∠A=∠ADE=∠1=∠2,∠C=∠BDC=∠BDE=∠BED,∴△ADE,△ABC,△BDE,△BCD,△ADB是等腰三角形．故选C．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理．此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,小心别漏解．9．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．底角的一半D．底角的2倍【考点】等腰三角形的性质．【分析】作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解．【解答】解：△ABC中,∵AB=AC,BD是高,∴∠ABC=∠C=在Rt△BDC中,∠CBD=90°﹣∠C=90°﹣=．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角,以及直角三角形两锐角互余的性质．题目本身是规律性的结论,要注意总结掌握,在今后的分析问题时可直接应用．10．已知：在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的一点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系为（）A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题中所示,画出图形,利用三角形全等,证明AO是角平分线,再根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解答】解：连接AO并延长,如图：在△ABO和△ACO中,∴△ABO≌△ACO（SSS）,∴∠BAO=∠CAO,∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．二、思考与表达11．如图,是从镜中看到的一串数字,这串数字应为810076 ．【考点】镜面对称．【专题】几何图形问题．【分析】关于镜子的像,实际数字与原来的数字关于竖直的线对称,根据相应数字的对称性可得实际数字．【解答】解：∵是从镜子中看,∴对称轴为竖直方向的直线,∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反,∴这串数字应为 810076,故答案为：810076．【点评】考查镜面对称,得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴,数的顺序正好相反．12．如图所示,在△ABC中,DE是AC的中垂线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是19 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件,根据垂直平分线的性质得到线段相等,进行线段的等量代换后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中,DE是AC的中垂线,∴AD=CD,AE=CE=AC=3cm,∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系,进行等量代换,然后求解．13．等腰三角形底边长为4cm,则腰长x的取值范围是x＞2cm ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式,求解即可．【解答】解：∵等腰三角形的底边长4cm,等腰三角形的两腰相等,且三角形中任意两边之和大于第三边∴2x＞4cm,∴x＞2cm．故答案为：x＞2cm．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．14．五角星有 5 条对称轴．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念分析解答即可,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：五角星共有5条对称轴,过每个角的顶点都有条对称轴．故答案为5．【点评】本题主要考查轴对称图形的概念,明确轴对称图形的概念是解题关键．15．如下图,在△ADC中,AD=BD=BC,若∠C=25°,则∠ADB= 80 度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】在等腰△BDC中,可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质,即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中,运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．【解答】解：∵BD=BC,∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中,AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．16．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°,则顶角是40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和,可根据三角形内角和定理求出另一个底角,再相减即可求出顶角．【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°即它的另一个底角为180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于110°﹣70°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接,简单,属于基础题．17．如图,△ABC中,OB平分∠ABC,OC平分∠ACB经过点O且平行BC,BE=3cm,CF=2cm,则EF= 5cm cm．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质,解出△BEO和△CFO是等腰三角形,通过等量代换即可得出结论．【解答】解：∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠ABO=∠EOB∴BE=EO,同理,OF=CF,∴EF=EO+CF=BE+CF=3+2=5（cm）．故答案是：5．【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边,进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键．18．如图,△ABC中,AB=AC,BD是角平分线,BE=BD,∠A=72°,则∠DEC=103.5°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据角平分线的定义求出∠DBE,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算求出∠DEB,然后根据平角定义列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC,∠A=72°,∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣72°）=54°,∵BD是角平分线,∴∠DBE=∠ABC=×54°=27°,∵BE=BD,∴∠DEB=（180°﹣∠DBE）=（180°﹣27°）=76.5°,∴∠DEC=180°﹣∠DEB=180°﹣76.5°=103.5°．故答案为：103.5°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,熟记等腰三角形的两底角相等是解题的关键．19．已知等腰三角形的一个角为42°,则它的底角度数42°或69°．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°,这个42°的角是底角或者顶角,分两种情况讨论即可．【解答】解：该题分两种情况讨论①若42°的角为底角,顶角为180°﹣42°×2=96°②若42°的角为顶角,底角为（180°﹣42°）÷2=69°．故填42°或69°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,内角和为180°且两底角相等；分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．20．如果等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线把三角形分成两个三角形的周长差是4cm．则这个等腰三角形的腰长为7cm或cm ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据题意画出图形,设等腰三角形的腰长为x,则底边长为25﹣2x,再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示,等腰∉△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,设AB=AC=xcm, ∵点D为AC的中点,∴AD=CD=,BC=25﹣（AB+AC）=25﹣2x,当△ABD的周长大于△BCD的周长时,AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）=4,即x+﹣（25﹣2x）﹣=4,解得x=cm；当△BCD的周长大于△ABD的周长时,则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）=4,即25﹣2x+﹣（x+）=4,解得x=7cm．综上所述,这个等腰三角形的腰长为7cm或cm．故答案为：7cm或cm．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,在解答此题时要注意进行分类讨论,不要漏解．三、应用与实践21．如图,图中的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形,请作出它们的对称轴．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴可得到答案．【解答】解：第1,2,3,5个图形是轴对称图形；第4个图形不是轴对称图形．如图所示：【点评】此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的定义．22．如图,以等腰三角形ABC的边AB的垂直平分线为对称轴画△ABC的轴对称图形．【考点】作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】根据中垂线及轴对称的性质,找到各点的对称点,顺次连接即可得出答案．【解答】解：所作图形如下：．【点评】本题考查了轴对称作图的知识,解答本题的关键是掌握轴对称的性质．23．如图,AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线,那么AD与BC平行吗？为什么？【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定．【分析】欲证AD∥BC,已知AB=AC,AD是∠BAC外角∠EAC的平分线,可按内错角相等两直线平行判定．【解答】解：AD∥BC．∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C,又∵∠EAC是△ABC的一个外角,∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B,∵AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线,∴2∠DAC=∠EAC,∴∠C=∠DAC,∴AD∥BC（内错角相等,两直线平行）．【点评】本题考查了平行线的判定,角平分线的性质和三角形外角的性质,比较简单．24．如图,已知线段CD垂直平分线AB,AB平分∠CAD,问AD与BC平行吗？请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．【分析】由线段CD垂直平分线AB,根据线段垂直平分线的性质,易得∠CAB=∠CBA,又由AB平分∠CAD,即可得∠DAB=∠CBA,继而证得AD与BC平行．【解答】解：AD∥BC,理由：∵CD垂直平分AB,∴AC=BC,∴∠CAB=∠CBA,∵AB平分∠CAD,即∠CAB=∠DAB,∴∠ABC=∠DAB,∴AD∥BC．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及平行线的判定．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．25．如图,∠XOY内有一点P,在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴,作点P的对应点P1与P2,连接P1P2交OX于M,交OY于N,则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴,作点P的对应点P1与P2, 连接P1P2交OX于M,交OY于N,则PM+MN+NP最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．26．如图,已知∠AOB和∠AOB内两点M、N画一点P,使它到∠AOB的两边距离相等,且到点M和N的距离相等．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意得出,点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点,进而得出即可．【解答】解：如图所示,画法如下：（1）作∠AOB的角平线OC；（2）连结MN,画线段MN的垂直平分线,与OC交于点P,则点P为符合题意的点．【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹．27．已知∠AOB=30°,点P在OA上,且OP=2,点P关于直线OB的对称点是Q,求PQ 之长．【考点】轴对称的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】连OQ,由点P关于直线OB的对称点是Q,根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ,则∠POB=∠QO B=30°,OP=OQ,得到△POQ为等边三角形,根据等边三角形的性质得PQ=PO=2．【解答】解：如图,连OQ,∵点P关于直线OB的对称点是Q,∴OB垂直平分PQ,∴∠POB=∠QOB=30°,OP=OQ,∴∠POQ=60°,∴△POQ为等边三角形,∴PQ=PO=2．【点评】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图象全等,即对应角相等,对应线段相等；对应点的连线段被对称轴垂直平分．也考查了等边三角形的判定与性质．28．如图,在△ABC中,C为直角,∠A=30°,CD⊥AB于D,若BD=1,求AB之长．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】先根据∠ACB为直角,∠A=30°,求出∠B的度数,再根据CD⊥AB于D,求出∠DCB=30°,再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．【解答】解：∵∠ACB为直角,∠A=30°,∴∠B=90°﹣∠A=60°,∵CD⊥AB于D,∴∠DCB=90°﹣∠B=30°,∴AB=2BC,BC=2BD,∴AB=4BD=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D,求出∠DCB=90°﹣∠B=30°,以后的问题即可迎刃而解了．。