n
V Vi. i 1
Z=f (x,y)
y D
i
（2）近似代替
在每个 中任取一点
则
z
Vi f (i ,i )i (i 1, 2,, n)
Z=f (x,y)
以 为底，f (i ,i )
为高的小平顶柱体体积
y
（3）求和
x
D i (i ,i )
将n个小平顶柱体的体积加起来，可得曲顶柱体体积
i 1
f (i ,i ) i
还有许多的实际问题，如平面薄片的质量等，其求解
过程都是采取分割、近似代替、求和、取极限的方法，
最后归结为求上述和式的极限.
7.1.2 二重积分的定义
定义7-1 设 f (x, y) 在有界闭区域 D上有界，将区域D
任意分成 n 个小闭区域
其中
既表示第i个小闭区域，也表示它的面积. 任取一点
（2）当连续函数 f (x, y) 0时，二重积分
的几何意义：以D为底，以曲面 z f (x, y)为顶的曲顶
柱体的体积.
当f (x, y) 0时，
等于曲顶柱体体积的负值.
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当 f (x, y) 在D的一部分区域上是正的，在其它部分区域
是负的，则二重积分等于xOy面上方的曲顶柱体体积减 去xOy面下方曲顶柱体体积所得的差值.
D
D
性质2
(7-3)
性质3 二重积分对积分区域D具有可加性：
f (x, y)d f (x, y) d f (x, y) d (7-4)
D
D1
D2
性质4
为D 的面积, 则
1d d
(7-5)
D
D
性质5 若在D上 f (x, y) g (x, y) ,则
M
y
y
P
D
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解法: 类似定积分解决问题的思想:
“分割, 近似代替, 求和, 取极限”
步骤如下：
z
（1）分割 用任意曲线网分D为 n个小闭区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 x
小曲顶柱体,体积记为 V（i i 1,2,, n),
则有
在闭区
域D上连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
使
f (x, y)d f (, )
(7-8)
D
二重积分的中值定理在几何上表示
在D内至少有一点 ( ,) ，使得曲顶柱体的体积等于以
D为底，以 f ( ,) 为高的平顶柱体的体积.
7.1 二重积分的概念及性 质
曲顶柱体的体积 二重积分的定义 二重积分的性质
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7.1.1 曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
z
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , x
母线平行于 z 轴的柱面 x 求其体积.
平顶柱体体积=底(x, y) d g (x, y) d (7-6)
D
D
特别地, 若 f (x, y) 0，则 f (x, y) d 0
D
性质6 设
D 的面积为 , 则有
m f (x, y) d M
D
(7-7)
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性质7 (二重积分的中值定理)
x, y 称为积分变量
积分区域 被积函数 面积元素
利用二重积分定义，上面所求曲顶柱体的体积就
是函数 f (x, y) 在闭区域D上的二重积分，即
V f (x, y)d
D
注意 （1）设D为有界闭区域，有
f (x, y) 在D上可积
f (x, y)在D上有界
f (x, y) 在D上连续
f (x, y) 在D上可积
（3）在直角坐标系中，如果用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
yy
f (x, y) dxd y.
D
o
O
D
x
x
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7.1.3 二重积分的性质
性质1 k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数（) 7-2）
的近似值，即 n f (i ,i ) i i 1
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（4）取极限
各个小闭区域的面积越小，体积V 的近似值就越精确.
记 m1aixn {i }
即 i max P1P2 P1,P2 i
的直径，
则有
n
V
lim 0
作和式
如果极限
可积， 并称此极限为
f (x, y)d，
D
，记 m1aixn {i}.
存在，则称 f (x, y) 在D上 f (x, y) 在D上的 二重积分，记作
即
n
D
f (x, y)d
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
(7-1)
积分和
被积表达式