ρ(ξi ,ηi )Δσi
3） 定义：设函数 z = f (x, y) 是有界闭区域 D 上连续的有界函
数，将闭区域分解成 n 份小闭区域：
Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n 其中 Δσ i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 Δσ i 上
任取一点 (ξi ,ηi ) ，做乘积 f (ξi ,ηi )Δσi（i=1、2、3、4……n），
质量=面密度×面积
求质量的具体步骤：
A. 用一组网格把 D 分割称 n 个小区域 Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n
B. 计算一个小区域薄片的质量：
ΔM = ρ(ξi ,ηi )Δσi （i=1、2、3、4……n）
C. 对其求和，得到整个薄片质量：
n
∑ M = lim λ→0 i=1
叫做曲顶柱体。
求其体积的步骤：
A. 用一组网格把 D 分割称 n 个小区域 Δσ1 ， Δσ 2 ， Δσ 3 …… Δσ n
B. 以这些小区域的边界为准线，母线平行与 z 轴，做一些小
曲顶柱体，因小区域足够小，且 z = f (x, y) 连续，视之为
平顶柱体
C. 计算一个平顶柱体的体积：
Δv = f (ξi ,ηi )Δσi （i=1、2、3、4……n）
积分必然存在。
2、 二重积分的性质：
∫∫kf (x, y)dxdy= k∫∫ f (x, y)dxdy
D
D
∫∫[ f (x, y) ± g(x, y)]dxdy= D
∫∫ f (x, y)dxdy± ∫∫g(x, y)dxdy
D
D
如果闭区域 D 被有限条曲线分为两个部分的闭区域，则：
∫∫ f (x, y)dxdy= ∫∫ f (x, y)dxdy+
D. 对其求和，得到曲顶柱面的体积：
n
∑ v = lim λ→0 i=1
f (ξi ,ηi )Δσi
2） 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy平面上的闭区域D，它在点 (x, y)
处的面密度为
ρ(x,
y)
，这里
ρ(x,
y)
q i ě z à i shànglián x ù
》0且在D上 连续，现
要计算薄片的质量。
《 ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫ g(x, y) dxdy
D
D
3、 二重积分的中值定理
设函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，σ 是 D 的面积，则在 D 上至少有一点 (ξ ,η ) 使得下列式子成立：
∫∫ f (x, y)dσ =f (ξ,η)σ
D
D
D1
∫∫ f (x, y)dxdy
D2
∫∫ σ = 1dσ Nhomakorabea表示高为 1 的平顶柱体体积等于底面积。
D
f (x,y)≤g(x,y)则：
《 ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫g(x, y)dxdy
D
D
设 m 和 M 是函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内的最大值和最
小值，σ 是 D 的面积，则有：
二重积分的概念
1、 二重积分的概念
yǐn l ì
引例：
1） 曲顶柱体体积：
母线
准线
设有一立体，它的底是xoy平面上的闭区域D，它的侧面是以
D的边界曲线为准线而母线平行与z轴的柱面，它的顶是以曲
面
z
=
f
(x,
y) ，这里
z
=
f
(x,
y) q i ě z à i shànglián x ù
》0且在D上 连续，这种立体
n
∑ ξ η σ f ( , )Δ 分变量，D 叫做积分区域， i=1
ii
i 叫做积分和。
有因为：
Δσ i = Δxi • Δyi
即 dσ = dxdy （直角坐标系中的面积元素）
∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
D
4） 定理：如果函数 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，则二重
n
∑ 并做和
f (ξ i ,η i ) Δ σ i ，如果当各个小闭区域的直径的最大
i =1
λ → 0 值
时，这和的极限总是存在，则称此极限为函数在闭区域上
的二重积分，记作：
n
∫∫ ∑ f (x, y)dσ = lim
D
λ→0 i=1
f (ξi ,ηi )Δσi
其中 z = f (x, y) 为被积表达式，dσ 叫做面积元素，x,y 叫做积