t
{rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy)
{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) {1} = d(fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
例1：求
F{sgn( x)}
解:计算过程分为三个步骤： (1)选择适当的函数序列 例如
…
-2/3
0
fn
三角傅里叶展开的例子
练习 1-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
a0
an
t t

2
t

g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx) g ( x) df

展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 写作df, 0, 求和 积分
展开系数Cn 频率为n/t的分量

二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
(1.3.18)
(3)求极限:
1 F sgn( x) lim GN ( f x ) i f x N 0
fx 0
fx 0
上式就是符号函数的广义傅里叶变换.
例2：求 例如选取
F{d ( x)}
a0 c0 , 2
an jbn cn , 2
c n
an jbn 2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:

g ( x) Cn 1
n
C
t 2 2
(2)当 f x x f y y N 时,
表示零位相线,其与x轴的夹角 arctan( f y )
fx
fx N y x fy fy
(3)引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向:
f
f
2
x

f
2
yห้องสมุดไป่ตู้
综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义 是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同 (|F(fx,fy)|dfxdfy) ， 方 向 不 同 (cos=fx ， cos=fy )的平面波线性叠加的结果。此即傅 里叶分解。
振幅谱 位相谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
傅里叶变换作为分解式
由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式 为 ei 2 ( f x f y ) 的基元 函数的线性组合，其频谱 F ( f x , f y ) 只不过是一个权重因子。
x y
这种基元函数具有下述性质： (1)代表传播方向为cos f x ,cos f y的单位振 幅的平面波.
t /2 1 exp( j 2 f x x) t / 2 j 2 f x

重要推论: 则
1 j 2 f x
(e
jtf x
e
jtf x
sin( tf x ) ) t sinc (t f x ) fx
{rect(x)} =sinc(fx)
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy


为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
{g(x,y)}=lim
t
x x )} {rect( rect (t ) exp( j 2 f x x)dx t t / 2 exp( j 2 f x x)dx
t / 2

思考题:利用 {rect(x)}=sinc(f) 计算


0
sin(f ) df f
2 2
g ( x)dx 2
4 1 4
1
dx 1
4 1 4 1
频率 f0 =1
sin( 2nx) 1 / 4 n cos( 2nx)dx sinc 1/ 4 n 2
t t

2
t
2 2
g ( x) cos( 2nx)dx 2
2 2
bn
t t

2
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx


g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df


这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义及存在条件
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y


F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2nf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
二维傅里叶变换
—— 指数傅里叶级数
思考题
利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间 的关系：
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,
函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积
可定义: g(x,y)=lim 则
t
rect(x/t)rect(y/t) {rect(x/t)rect(y/t)}
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ), f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数
积分变换:
F ( x) f ( ) K ( , x)d


傅里叶变换的核:
exp(-j2fx)
变换核
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
e x / N , x 0 g N ( x) 0, x 0 e x / N , x 0
(1.3.17)
1 显然有： sgn( x) lim g N x 0 N 1
x0 x0 x0
(2)求变换: F{g N ( x)}
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
二维傅里叶变换
——指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c

n
exp( j 2nf 0 x), (n 0,1,2... ),

f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)df x df y

记作:
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}. 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
2

cos( 2 x )

2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/
频谱图
1 3
1 2 2 f ( x) cos( 2x) cos(6x) ...... 2 3