图1-5-1 函数 ei2π(fxx+fyy) 的零位相直线族
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限→不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限→原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-∞, + ∞)不可积
−τ / 2
exp(− j2π f x x)dx
∫
∞
0
sin(πf ) df πf
τ /2 1 = exp(− j2π f x x) −τ / 2 − j2π f x
=
重要推论: 则
1 j2π f x
(e
jπτf x
−e
− jπτf x
sin( πτ x ) f )= =τ sinc (τ f x ) π fx
第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理
• 恩格斯(Engels) 把傅里叶 傅里叶的数学成 傅里叶 就与他所推崇的哲学家黑格尔 (Hegel) 的辩证法相提并论.
他写道：傅里叶 傅里叶是一首数学的诗， 傅里叶 黑格尔是一首辩证法的诗.
1、三角傅里叶级数展开 、
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在(-∞,+ ∞)展 为三角傅里叶级数:
e
dx
=Ne
2 −π fx N2
∫
2
2 2 − π Nx +i 2π fx x+ i π fx / N +∞
(2)求变换 F{gN (x)} (2)求变换 求变换:
GN ( fx ) = F{gN (x)} = ∫ gN ( x) e−i 2π fxxdx
−∞ ∞ ∞ − x N
= −∫ e
−∞
0
x N −i 2π fx x
e
dx + ∫ e e−i2π fx xdx
0
=
−i4π fx
1 ( )2 + (2π fx )2 N
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
f (x, y) = ∫∫ F( fx , f y ) exp[ j2π ( fx x + f y y)df xdf y
−∞
+∞
F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jφ (fx,fy)
解:(1)选择适当的函数序列
−π ( Nx)2
显然有： 显然有： δ ( x) = lim fN ( x) = lim Ne
N→∞
{
(
−π ( Nx)
2
}
(2)求变换 F{ fN (x)}
FN ( fx ) = F{ fN (x)} = N∫ e
−∞ +∞ −π ( Nx )2 −i 2π fx x
a0 ∞ g ( x) = + ∑ (an cos 2πnf 0 x + bn sin 2πnf 0 x), 2 n =1
(n = 0, 1, 2... ), f0 =
1
τ
展开系数
a0 =
τ∫
2
τ
0
g ( x)dx
an =
τ∫
2
τ
0
g ( x) cos(2πnf 0 x)dx bn =
τ∫
2
τ
0
g ( x) sin( 2πnf 0 x)dx
fx
fx N y =− x+ fy fy
(3)引入了空间频率的概念. 引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向: 沿等位相线法线方向:
f =
f
2
x
+
f
2
y
综合上述分析， 综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义 物函数f(x,y) 可以看成是无数振幅不同 是 ： 物函数 f(x,y)可以看成是无数振幅不同 )|df (|F(fx,fy)|dfxdfy) ， 方 向 不 同 (cosα=λfx ， (|F cosβ=λfy )的平面波线性叠加的结果。此即傅 的平面波线性叠加的结果。 里叶分解。 里叶分解。
−
2
τ
2 2
g ( x)dx = 2 ∫
4 −1 4
1
dx = 1
1 4 −1 4
频率 f0 =1
sin( 2πnx) 1/ 4 n cos(2πnx)dx = = sinc −1/ 4 πn 2x) cos(2πnx)dx =2∫
bn =
τ ∫τ
−
2
τ
2 2
sinc(x)δ (x-1) = 0 sinc(x)*δ (x-1) = sinc(x-1) tri(x)δ (x + 0.5) = 0.5 δ (x + 0.5) tri(x) * δ (x + 0.5) = tri(x + 0.5)
1 2 1 0 1
0.5 -1 -0.5 0 1
x
x
1
x
-1.5 -0.5 0 0.5
g(x) =
n=−∞
∑c exp( j2πnf x),
n 0
+∞
(n = 0,±1,±2... ),
f0 =
1
τ
展开系数
cn =
∫ g(x) exp(− j2πnf x)dx τ
0 0
1
τ
零频分量, 基频, 谐频, 零频分量 基频 谐频 频谱等概念 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
(1-5-7)
(3)求极限: 求极限:
1 F {sgn(x)} = lim GN ( fx ) = iπ fx ∞ N→ 0
fx ≠ 0
fx = 0
上式就是符号函数的广义傅里叶变换. 上式就是符号函数的广义傅里叶变换.
例2 ：求 例如选取
F{δ (x)}
fN (x) = Ne
N→∞
例1 ：求
F{sgn(x)}
解:计算过程分为三个步骤： 计算过程分为三个步骤： (1)选择适当的函数序列 例如
e−x / N , x > 0 gN (x) = 0, x = 0 −ex / N , x < 0
(1-5--6) --6
1 x >0 显然有： 显然有： sgn(x) = lim gN ( x) = 0 x = 0 N→ ∞ −1 x < 0
可定义: g(x,y)=lim 则
τ →∞ τ →∞
rect(x/τ)rect(y/τ) {rect(x/τ)rect(y/τ)}
{g(x,y)}=lim
x )} = rect( x) exp(− j2π f x x)dx {rect( ∫−∞
+∞
τ
τ
=∫
+τ / 2
思考题:利用 {rect(x)}=sinc(f) 计算
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F( fx , f y ) = ∫∫ f (x, y) exp[− j2π ( fx x + f y y)dxdy
−∞
+∞
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
这种基元函数具有下述性质： 这种基元函数具有下述性质： (1)代表传播方向为cosα = λ fx ,cos β = λ f y的单位振 幅的平面波. 幅的平面波. (2)当 f x x + f y y = N 时 , → 表示零位相线,其与x 表示零位相线,其与x轴的夹角 θ = arctan( f y )
{rect(x)} =sinc(fx)
根据广义傅立叶变换的定义和δ 函数的定义:
τ →∞
{rect(x/τ)rect(y/τ)} =τ2sinc(τfx)sinc(τfy)
{g(x,y)}=limτ2sinc(τfx)sinc(τfy) = δ(fx, fy) {1} = δ(fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为τ =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
2
π
cos(2π x)
−
2 cos(6π x) 3π
前3项的和
1/2
an
2/π
频谱图
1 2 2 f (x) = + cos(2πx) − cos(6πx) +...... 2 π 3π
+∞
+∞g(x) exp(− j2π fx)dx exp( j2π fx) g(x) = ∫ df ∫ −∞ −∞
展开系数,或频率 分量的权重 相当于分立情形的C 展开系数 或频率f分量的权重 G(f), 相当于分立情形的 n 或频率 分量的权重,
+∞
由于τ ∞ 分立的n级谐波频率 τ 分立的 级谐波频率 n/τ f, f: 连续的频率变量 : 相邻频率间隔: 1/τ 0, 写作df, 相邻频率间隔: τ 写作 求和 积分
g ( x) sin( 2πnf 0 x)dx = 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。 采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。