高中数学常用公式及结论一、集合与常用逻辑用语：1 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个。

3 真值表： 同真‘且’真，同假‘或’假5充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；(4)、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

(5)、B A ⊆ , A 是B 的充分条件(小范围⇒大范围)二、函数：1 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时） 2 函数单调性:增函数： )()(,2121x f x f x x << ⇒ f （x ）在x ∈D 上是减函数。

（y 随x 的增大而增大）减函数： )()(,2121x f x f x x >< ⇒ f （x ）在x ∈D 上是减函数。

（y 随x 的增大而减小） 等价关系：(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 增；如果0)(<'x f ，则)(x f 减. 单调性性质：(1)增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（两个函数定义域交集）(2)增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；(3))(,)(1x f x f -与)(x f 单调性相反，)(x f 与)(x f 单调性相反。

（有意义的前提） 复合函数的单调性：[])(x g f y =，由)(u f y =和)(x g u =复合，同真异减。

3 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。

性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；（2）奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间； （3）定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .偶函数：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）偶函数的图象关于y 轴对称；（2）偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)奇函数·偶函数=奇函数； 奇函数·奇函数=偶函数； (2)偶奇函数·偶函数=偶函数； 偶函数±偶函数=偶函数；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 4 函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ）⇒ T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：(1)f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；（2）f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)1()()f x m f x +=-，此时周期为2m ; (4)两条对称轴：b x a x ==,，此时周期为b a T -=2；（形如x y x y cos ,sin ==） (5)两个对称点：)0,(),0,(b a ，此时周期为b a T -=2；（形如x y x y cos ,sin ==）(6)一条对称轴：一个对称点：)0,(,b a x =，此时周期为b a T -=4；（形如x y x y cos ,sin ==） 5 对称性：对于函数)(x f y =(R x ∈), ①()()f x f x -= ⇔ 函数)(x f 关于y 轴对称 ②)()(x f x f -=- ⇔ 函数)(x f 关于原点对③)()(x b f a x f -=+ ⇔ 函数)(x f 的对称轴是2ba x +=特别地：)2()(x a f x f -= ⇔ 函数)(x f 的对称轴是a x =④)()(x b f a x f --=+ ⇔ 函数)(x f 关于点（2ba +，0）对称特别地：)2()(x a f x f --=⇔ 函数)(x f 的对称点)0,(a⑤)(x f y =与)(x g y =互为反函数 ⇔ )(x f y =与)(x g y =关于x y =对称 特别地：),(b a 与),(a b 关于x y =对称6 图像变换：①平移变换：)(x f y =沿x 轴方向平移a 个单位长度 )(a x f y += 左加右减)(x f y =沿y 轴方向平移b 个单位长度 )(b x f y += 上加下减②对称变换：)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称)(x f y =与)2(x a f y -= 关于a x =成轴对称 )(x f y =与)2(x a f y --=关于)0,(a 成点对称③伸缩变换：)(x f y =纵坐标伸缩为原来的A 倍 )(x Af y =)(x f y =横坐标伸缩为原来的A1倍 )(Ax f y =④翻折变换：)(x f y =：作出)(x f y =的图像，保留x 轴上方图像，将x 轴下方图像沿着x 轴翻折上去。

)(x f y =：作出)(x f y =的图像，保留y 轴右方图像，将其沿着关于y 轴翻折到左边，右边不变。

（)(x f y =是偶函数）7 分数指数幂与根式的性质：(1)m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.（2）1m nm naa -==0,,a m n N *>∈，且1n >）.（3）na =.（4）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.8 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 9 指数与指数函数： 指数性质： (1)1、1pp aa-=； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈ ； (5)、m na = ；α<1 指数函数：(1)、 (1)xy a a =>在定义域内是单调递增函数；（2）、 (01)xy a a =<<在定义域内是单调递减函数。

注： 指数函数图象都恒过点（0，1）10 对数与对数函数：对数性质： 若0,0,1,0>>≠>N M a a ，则(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a aMM N N-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m n a a nb b m=⋅ ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a ba b =对数的换底公式 :log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点（1，0）(3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 11 幂函数:幂函数在第一象限的情况：(1)所有的图形都通过(1，1)这点，a 大于0，函数过(0，0)；(2)当a 大于0时，幂函数为单调递增的，而a 小于0时，幂函数为单调递减函数。

12 平均增长率的问题（负增长时0p <）：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.三、导数：1 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度：00()()()lim lim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.瞬时加速度：00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 2 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 3 几种常见函数的导数：(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1()()n n x nxn Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；1(log )log a a x e x'=.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.4 导数的运算法则：（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 5 复合函数的导数：[])(x g f y =，由)(u f y =和)(x g u =复合，[]''')()()(x g u f x g f y ⋅==。