复合函数问题一、 复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A , u=g(x)的值域为B ，若A B ，贝U y 关于x 函数的 y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量•二、 复合函数定义域问题：(1)、已知f (x)的定义域，求f g(x)的定义域思路：设函数f (x)的定义域为D ，即x D ，所以f 的作用范围为D ，又f 对g(x)作用，作用范 围不变，所以g(x)D ，解得xE ，E 为f g(x)的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(0,1)，贝U 函数f(ln x)的定义域为 ______________________ 。

解析：函数f (u)的定义域为(0, 1 )即u (0, 1)，所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以0 Inx 1解得x (1, e)，故函数f (In x)的定义域为(1 , e ) 例2.若函数f (x)，则函数 x 1解析：先求f 的作用范围，由f (X ) 1，又f 对f(x)作用所以f(x) R 且f (x) 1，即f f(x)中x 应x 1即 1 ，解得x 1 — 1 x 1故函数f f (x)的定义域为x R|x 1且x 2(2 )、已知f g(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作 用，作用范围不变，所以 x E , E 为f (x)的定义域。

例3.已知f (3 2x)的定义域为x 1, 2，则函数f (x)的定义域为 ___________________所以f 的作用范围为 1, 5，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 x 1, 5f f (x)的定义域为1 ，知x 1x 1即f 的作用范围为x R|x满足x 1 f(x)解析：f (32x)的定义域为 1, 2，即x1, 2，由此得 3 2x 1, 5围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题(1 )引理证明已知函数y f (g(x)).若u g(x)在区间(a,b )上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y f (u)在 区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y f(g(x))在区间(a,b )上是增函数.证明：在区间(a, b )内任取两个数 x 1, x 2，使a x 1x 2b因为u g(x)在区间(a,b )上是减函数，所以 g(xj g(x 2),记5g(x 」，u ?g(X 2)即U 1 u 2,且u 1,u 2 (c, d)2即函数f (x)的定义域为 1，5例4.已知f (x4)2ig 』 x8，则函数f (x)的定义域为解析：先求f 的作用范围，由f (x4)2x ig — x2x-2~x解得x 2 4 4，f 的作用范围为(4，)，又f 对x 作用, 作用范围不变，所以 x (4，即f (x)的定义域为(4,(3)、已知f g(x)的定义域，求fh(x) 的定义域思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，f 的作用范围为E ，又f 对h(x)作 用，作用范围不变，所以 h(x) E ，解得xF ，F 为f h(x)的定义域。

例5.若函数f(2x )的定义域为1, 1 ，则 f(log 2 x)的定义域为解析：f(2x )的定义域为1, 1，即 x 1，1，由此得 2xf 的作用范围为 -，22，又f 对log 2 x 作用，所以 log 2 x2，解得x 2，4即f (log 2x)的定义域为、2，4评注：函数定义域是自变量x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范因为函数y f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(uj 仁上)，即f(g(xj) f(g(x2)),故函数y f(g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表:以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”(3)、复合函数y f(g(x))的单调性判断步骤：i确定函数的定义域；ii将复合函数分解成两个简单函数：y f (u)与u g(x)。

iii分别确定分解成的两个函数的单调性；iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数y f (g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数y f(g(x))为减函数。

(4)例题演练例1、求函数y log1 (x222x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x2x 3 0x3或x 1单调减区间是(3,)设X i,X2(3,)且人X2贝Uy i log iX222为3)y22log 1(x22x23)22(x12x-i 3)(X222x23)=(X2 xJ(X2 x(2) x2 x1 3 ••• x2 x10 x2x1 2 02 2 1••• (X i 2x i 3)>(X2 2X2 3) 又底数0 —12•y2 y i 0即y2 y i•y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数+［例］2、讨论函数f(x) log a(3x2 2x 1)的单调性•［解］由3X22x 1 0得函数的定义域为亠 1{x|x 1,或 x —}•3则当a 1时，若x 1 ,••• u 3x22x 1为增函数，• f(x) log a(3x2 2x 1)为增函数.1若x ,••• u 3x22x 1为减函数.3•- f (x) log a(3x2 2x 1)为减函数。

2 1 当0 a1时，若x 1 ,贝y f(x) log a(3x2 2x 1)为减函数，若x —,则3f (x) log a(3x2 2x 1)为增函数.x __ ..例3、.已知y= log a (2- a )在］0 , 1 ］上是x的减函数，求a的取值范围.解：T a> 0且a丰1当a > 1时，函数t=2- a x>0是减函数x由y= log a (2- a )在］0,1 :上x的减函数，知y= log a t是增函数，• a > 1由x :0 , 1 ］时，2- a x2-a >0,得a v2,• 1 v a v 2当0<a<1时，函数t=2- a x>0是增函数•由y= log a (2- a x)在］0,1 :上x的减函数，知y= log a t是减函数，•0<a<1 ・由x :0 , 1 ］时，2- a x2-1 >0, • 0<a<1综上述，0<a<1或1 v a v 2-例4、已知函数f(x 2) ax2(a 3)x a 2 ( a为负整数)的图象经过点(m 2,0), m R，设g(x) f ［f (x)］, F(x) pg(x) f (x).问是否存在实数p(p 0)使得F(x)在区间(,f (2)］上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知f(m 2) 0,得am2(a 3)m a 2 0 ,其中m R,a 0. •••0 即3a22a 9 0,1解得2打a1 2,7 33•/ a为负整数，• a 1.•- f(x2) x4x 3(x 2)21即f (x)x21g(x)f[f(x)]/ 2 八2 , 4 ^2(x 1) 1 x 2x ,•- F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x2 1.假设存在实数p(p 0)，使得F(x)满足条件，设X1 X2 ,•F(x i) F(X2)(X i2x2)[ p(xf x2) 2p 1].••• f(2)3，当x i,X2 ( , 3)时，F(x)为减函数，•F(x1) F (x2) 0，•x-|2x^ 0, p(x12x^) 2 p 1 0.■/ x13,x23, • x? x^ 18,p(x12xi) 2 p 1 16p 1,•16p 1 0.①当X1,X2 ( 3,0)时,F(x)增函数 5 * *F(X1)F(X2)0.•/ x2 x2 0, •p(x12x2) 2p116p 1,•16p 1 0.②由①、②可知p1，故存在16p116.一.指数函数与对数函数•同底的指数函数y X a与对数函数y log a X互为反函数;(二)主要方法：1 •解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 •指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3 •比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.(三)例题分析：2 b例1 • (1 )若a b a 1，则log b, log b a , log a b从小到大依次为________________________ ；a(2 )若2x 3y 5z，且x , y , z都是正数，则2x, 3y , 5z从小到大依次为______________________(3 )设x 0，且a b 1 ( a 0, b 0)，则a与b的大小关系是()(A) b a 1 ( B) a b 1 (C) 1 b a ( D ) 1 a bb b解：(1)由a2 b a 1 得一 a，故log b 一 log b a 1 log a b .a a(2 )令2x 3y5z t，则t1,lgtx , ylgtzlgt ig2 y lg3lg5• 2x 3y 2lgt3lgt lgt(lg9 lg8)0, • 2x3y; lg2lg3lg2 lg3同理可得：2x 5z0 ,•.2x5z3y2x 5z . (3 )取x 1 ,知选(B ) 例2 •已知函数f (x)X a X2 (a1),求证：(1 )函数f (x)在( 1,)上为增函数；(2) 方程f(x)0没有负数根. 证明：(1 )设1 为X2,则f (x,) f (x2) a x1X12a X2X22X11X21一x 2X1 2X22X13(X1 X2)a a a ax11X21(X11)(X2 1)1 x-i x2, •为10 , X2 10, X1X20,3(X1 X2)0 ;(X1 1)(X2 1)••• 1 人X2,且a1, . X1 X2…a a, …a Xa2 0• f (X1) f (X2) 0 , 即f(X1) f (X2), •函数f(x)在('1,)上为增函数；(2 )假设X0是方程f (X)0的负数根,且X01,则a X0X0 20,X0 1即a" 2 X0 3(X。