分数求和的常用方法1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法：和公式：（首项+末项）X项数+ 2来计算。
1 I2 |3 |4 | ( 2006 +20072008 + 2008 + 2008 + 2008 * + 2008 2008=(土+ 3007)x 2007 + 220081=1003-20082二、图解法：1 1 1 1… 1 1计算：一 +—+—+-- +-- +2 4 8 16 32 64分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出:1 + 1 + 1 + -1 + -1 + -1=1--1=632 4 8 16 32 64 64 64解法二：观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数1 、，…， 1 ................ ，一，一一，就能凑成一，依次向刖类推，可以求出算式之和。
64 32111111-+一 + 一 + ——F ------- F一2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 , 1 1、 1=+ - + - + —+ 一+ ( 一 + 一 )——2 4 8 16 32 64 64 64.1 ,1 ,1 1 ,1 1、 1+ — + —+—+ (——+——) -----2 4 8 16 32 32 64分数求和计算：n^+M+工+2008 2008 2008 2008分析：这道题中相邻两个加数之间相差+ 2006 + 2007+ 2008 20081 ... ............... ......... ................,成等差数列，我们可以运用等差数列求2008— 1 ill2 4 S 10 321 1 -X 2-—— 264=63"64解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半, 2倍，然后两式相减，消去一部分。
1 1 1 1 1 1 设x= — + — + —+• + -- + ----2 4 8 16 32 64那么,2x= (1+ 1 + 1 1 1 1 、 —+ — + — + — ) X 22 48 16 32 64,1 ,11 1 1 =1 + — + — + —+ — + —2 48 16 32用②一①得2x-x=1+1 + 1+1 + 1 + 1- (1 + 1 + 1 + 1 + -1 + -1)2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 6463 x=64所以，1 +1 +1 + -1 + 1 + -1=632 4 8 16 32 64 64三、裂项法分析：由于每个分数的分子均为 1,先分解分母去找规律： 2=1 X 2,6=2X 3, 12=3X 4, 20=4X 5, 30=5 X 6,……110=10X11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。
=1 1 =1 — -11 10 111-+ - F ……+5 99 13 29 33再变数型：因为1=工=1_ 1 , 1=工=]_ 12 1 2 2 6 23 2 1 一一，，，一。
这样将连加您算变成加减混合您算， 111111 ----------------------------------------- --------------- ---------- ----------12 3 4 34中间分数互相抵消， 只留下头1+1 * 1 * 1 * 1 1 1+ •+ 一 + ——2 6 12 20 3090 110 1 , 1 1 , 1 1 1111=1 — — + ----- --- + ------- -+• + — - ------P---- --- 2 2 3 3 4 9 10 10 11 110 10 11 10 和尾两个分数，给计算带来方便。
根据这一特点，我们可以把原式扩大1、计算:,1 ,.,.,, H 1 ---------- 1 --------------- F ……+ 12 20 301 ----F90 1102、计算:+ --------- 33 37分析：因为_J L=I — 1, J L = 11 5 55 9 5373、计算：21 -4 4 4 一-4-一-j444 - 4-—-一一一一，一 一，4分析：因为一 3 1535 6399 1 143 1 195255=4 X 1 =4 X 1 =4X (1 一 )x , 3 3 1 3324… ----- 4 X 151 … =4 X15 工=4X(1- 1) x 13 5 3 5 24 1 1, 11、 1 ————=4X ------ =4X ( — )X3535 5 7 57 2-±=4X 1=4X-^=4X (1 - 1) X 1.255 255 15 17 15 172所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
11 +—— 1 1 1 -+ ■ ------ +• ••…+ ------- + -1 5 5 99 1329 3333 3744444 、=(- ——++-------- + ••… •+ --------- + ---------) + 41 5 5 9 9 1329 33 33 371 1 1 1 11 1 1 1、,=(1 ■——+ —— —+ —— -- + , .•…+ ------- -——+ —- ——)+45 5 9 9 132933 3337=(1 ■ 1 )+ 43741 1~… ........ ... .... ..............—4一 =—-上。
所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大33 37 33 37 的差进行简便计算。
9 21---———— ——一——一——一——一——3 15 35 63 99 143 195 255 1 1 1 1 1 1 1、 1 =21 - (1 - + ---- + ----- —+ ...... + — — — ) x —3 3 5 5 7 15 17 2 =21 - 2X (1 - 1)17 2 =19 —17… 1 5 119 29 9701 9899 4、计募： ---- 1 - + 一 + 一 + ------ ■••+ ---------F ----- 2 6 120 30 9702 9900 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 土 _ 土 _ 4每个加数的分子均比分母少 分析：仔细观察后发现, 1.这样可变形为: 1=1 5 =1-】=1 一 6 6 _^=1 =1 — 9900"-1=1--X,12 12 3 42 311一 .然后再裂项相消。
99 1001920 2=1 - — =1 --------- --- , 20 4 51=12 9899=1- 9900 1411 —. ----------- =—— -------9 9 13 9 13 4 1 1 … -------- = ----- —— -29 33 29334倍后，再分裂成两个数1 5 11 19 29 9701 —+ — + ---- + --- + --- + .... + ------- +2 6 12 20 30 9702 =(1 - 1) + (1 - 1) + (1 -—)12 989921 =1X 99 -( — +21 ——+2 =99—(-1 61 1 1 —+——12 201 ----- +3 4=99一(1 一—)100+……++ (11 =99——1005、计算:11+——1 299001、，,-—)+ ......... +20)9900----------------- + ........ + ------------------------------1 2 3 4 1 2 3 (100)1,第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分1 2 3分析：可以看出，第一项的分母为母是100个数相加且都是等差数列。
这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质, 变分母为两个数相乘。
(1)解法一：1+ -----------1 21(1 2) 222 再裂项求和。
1=2X (2 31-上101(1 3) 32 3 41(1 4) 4+ ....... + -1 100(1 100) 100100 101】99=1 -101解法二：原式=2 (1 2) (1 2 3) 2 (1 23 4) 2 (1 2 99 100)=2X (-1100=2X ( 1- )101 1011 —)101 100=1堕1016、计算:1 2 3分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差: ...+ ----------------98 99 10098 99 100 1 原式=1x (一 2 11 1=—x ( 2 1 =Lx ( 2 4949 19800 (98 99 1 —) + 3 1 99 )100-------- )， 99 1001 1 -x ( 1 21此时, 可消中间，留两头进行巧算。
+……+98 991 , 1 …+ — X ( ----------2 98 9999 1005 ,6 . -, ---- + ----- ------- ------- + 2004 2004 2004 2004 2001 2002 4 , ---- + 2004 ——+ 2004 2004 20041999 2000 __ _____ 一 ---- 一 ----- + ------ + ----2004 2004 2004 2004.一 .......... … 2 ......... ... ,^一 …，一 ， 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数 二^开始依次往后数，每四个分数为一组, 2004 四、分组法 :计算,10 9 + 2004 2004 2001 一到2001为止，共有500组，每组计算结果都是 0. 2004原式=^^+ ( 22004 ,10 + -------- …… 2004 =1 + 20022004 2004 2003 2004 2004 2004 2000 2004 1998 2004 1999 2004 七+直)+ 2004 ,2001、2004 2004 2004 2002 2004 2804 + 2004 五、代入法：计算(1、几1 1 1 1 1 1 1 小 设_ =A,— — =B,则 2 3 4 2 3 4 5 原式= :(1+A) X B- (1+B) X A 4 分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替,=B+ AE^ A — AB ,1 1 1 11 1 1() -()2 3 4 52 3 4=B — A =1 5 热点习题1、-)-(1+ 一 - 一 5 2 3 4 可化繁为简，化难为易。