用留数定理计算实积分一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用二：教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体介绍几个类型的实变定积分. 一 计算⎰π20d )sin ,(cos R θθθ型积分令θi e =z ，则θc o s 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将)sin ,(cos R θθ变形为复变量z的函数的愿望，此时有zz zz i 21sin ,21cos 22-=+=θθ同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。
故使积分路径也变成了所期望的围线。
至此，有⎰⎰=⋅-+=122π20d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ于是，计算积分⎰π20d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。
例 求。
解 当时，；当时，令，当时，在内，仅以为一级极点，在上无奇点，故由留数定理当时,在内仅以为一级极点,在上无奇点，例计算积分.解：令得：先求的奇点及其留数.令其分母为零得：这就是的两个单极点.单极点的模为：所以极点在单位圆内.而单极点的模为:所以在单位圆外，在极点处.此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：之值.为此，在前例中，用代得：两也对a求导得：令a=1得，即：例求。
解为偶函数，故，令，则在内部仅有为一级极点，，故，比较实部得，故。
例计算积分.解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分:作变换：，则:因为的阶极点.所以：故：比较两边的实部和虚部得：。
一 计算dx x Q x P ⎰+∞∞-)()(型积分由于，考虑添加辅助曲线与实轴上是区间构成围线，则，其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得。
引理 6.1设在圆弧充分大)上连续,且在上一致成立(即与中的无关)，则。
证，由于在上一致成立，故，定理6.7设为有理分式，其中，为互质多项式,且（1）；（2）在实轴上，则。
证由,,存在,且。
作,与线段一起构成围线,取足够大，使的内部包含在上半平面内的一切孤立奇点,由在实轴上知,在上没有奇点,由留数定理得，又。
由于当时,，由引理6.1，，于是。
例设，计算解：为偶函数，所以函数的奇点为故在上半平面的奇点为：，而：例 计算积分⎰∞+∞-++x x x xd 1242。
解 经验证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出1)()(242++=z z zz Q z P 在上半平面的全部奇点．令0124=++z z 即22424)12(1z z z z z -++=++222)1(zz -+=)1)(1(22+-++=z z z z 0=于是，)()(z Q z P 在上半平面的全部奇点只有两个：i 2321+=α 与 i2321+-=β且知道，α与β均为)()(z Q z P 的一级极点．其次，算留数，有))()()(()(lim ),)()((Res 2βαβαααα++---=→z z z z zz z Q z P z i 34i31+=))()()(()(lim ),)()((Res 2βαβαβββ++---=→z z z z zz z Q z P z i34i31-=最后，将所得留数代入（7.11）式得)],)()((Res ),)()((Res [i π2d 1242βαz Q z P z Q z P x x x x+=++⎰∞+∞-3π=.二 积分的计算引理6.2(Jordan) 设在半圆周充分大)上连续,且在上一致成立，则。
证，由于在上一致成立，故,J ordan不等式。
由于，故，于是。
定理6.8设,其中及为互质多项式,且（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3），则，特别地分开实、虚部就可以得到与的积分。
证略。
例计算积分。
解：为偶函数，有两个单极点，其中在上半平面，其留数为：例 计算积分0,d e22i >+⎰∞+∞-a x ax x．解 经验证，该积分可用（6.14）式计算． 首先，求出辅助函数22i e)(az z f z+=在上半平面的全部奇点．由022=+a z 解得i a z =与i a z -=为)(z f 的奇点，而0>a ，所以，)(z f 在上半平面只有一个奇点 i a ， 且i a 为)(z f 的一级极点． 其次，计算留数．有)i )(i (e)i (lim )i ,e(Res i i22i a z a z a z a az za z z+--=+→i2ea a-=最后，由（6.14）式得)i ,e(Res i π2d e22i 22i a az x ax zx+⋅=+⎰∞+∞-aa eπ=。
例 计算积分⎰∞+∞-++⋅x x x x d 54cos π2解 若令⎰∞+∞-++=xx x x E d 54cos π2⎰∞+∞-++=x x x H xd 54eπ2i则H E Re =，即H 的实部为E 。
因此，为了计算H ，只需求出积分⎰∞+∞-++x x x xd 54e2i即可，而该积分可用（6.11）式计算。
为用（6.11）式，先求出辅助函数zzz z z Q z P i 2i e541e)()(++=在上半平面的奇点只有点i 2+-=α（另一个奇点为i 2--=β），于是，由（6.14）式得)i 2,54e(Res i π2d 54e2i 2i +-++⋅=++⎰∞+∞-z z x x x zx而))((e)(lim )i 2,54e(Res i 2i βααα---=+-++→z z z z z zz zi2ei21--=故i22i eeπd 54e-∞+∞-=++⎰x x x x从而有 )2sin i 2cos (eπ2-=H于是 2cos eπRe 2==H E即2cos eπd 54cos π22=++⋅⎰∞+∞-x x x x这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（6.14）式进行。
复变函数论 课程教案注：1、每项页面大小可自行添减；2一次课为一个教案；3、“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4、授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课等。
4.计算积分路径上有奇点的积分前面所讲的三种类型都是在实轴上没有奇点的情况，如果在实轴上有奇点。
那么前述计算方法不完全适用。
例如在实轴上有一个奇点(为实数)，要计算，在作辅助线时，应绕过奇点，具体办法是在上半平面，作一个以为心，半径为的半圆周，积分沿进行，然后令取极限(如图所示)令，上式左端用留数定理计算，再令若满足引理条件，主要的就是求积分.如果实轴上有n 个奇点，那么分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可，例计算狄利克雷积分解：先将积分变换为对于第二个积分，作变换，则：故由于为的极点，实际上上式应写成：这样我们作如图所示的辅助线，使组成一个复围线，那么：令在上半平面并无奇点，所以.而：有所以因此：(为解析函数)因为解析函数在上必有界(在边界上达最大值，当时：由此可得：而即故由此还可得出推论：。