1
P
X
4001.1 400 0.19
1.147
1 (1.147) 0.1357;
12
(2)以Y 记有一名家长来参加会议的学生数,
则 Y ~ b(400, 0.8), 由德莫佛－拉普拉斯定理知,
P{Y 340}
P
Y 400 0.8 400 0.8 0.2
340 400 0.8
解：设X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。
则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.
由德莫佛-拉普拉斯定理有
lim
P{
n
np
x}
(x)
n
npq
P{X 15} P
X 100 0.1
15 100 0.1
100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
15 100 0.1 100 0.1 0.9
2,
由 E( X k ) 0, 得 E( Xk2 ) D( Xk ) [E( Xk )]2 由辛钦定理知
对于任意正数 , 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
1
三、典型例题
例1 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每
个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有
85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
400
0.8
0.2
P
Y 400 0.8 400 0.8 0.2
2.5
(2.5)
0.9938
.
13
5 3
0.952.
5
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次 纵摇角大于 3º的概率是多少？
解 将船舶每遭受一次海
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为 X, 则 X 是一个随机变量, 且 X ~ b(90000, 1).
20
V Vk
k 1
求 PV 105 的近似值。
解： EVk 5, DVk 102 / 12, (k 1,2, ,20),
P{V 105} P
V - 20 5
105 - 20 5
20 102 / 12 20 102 / 12
P
V - 100
0.387
20 (10 / 12)
P{29500 X 30500} 5 2 5 2
2 2 0.9995.
8
n
X k n
lim P{ k1
x}
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
例3 一加法器同时收到20个噪声电压，Vk (k 1,2, ,20)
设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上
服从均匀分布，记
解 (1) 以 Xk (k 1, 2, , 400) 记 第 k 个学生来参加会议的家 长数,
10
(1) 以 Xk (k 1, 2, , 400) 记
长 第则数k 个X, k学的生分来布参律加为会Xp议kk
的家0 0.05
1 0.8
2 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, (k 1,2, ,400)
3
6
分布律为
P{ X
k}
90
000
1
k
2
90
000
k
,
k 3 3
所求概率为
k 1, ,90000.
P{29500 X 30500}
30500
90000
1
k
2
90000k
.
k29501 k 3 3
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
np
p)
7
30500 np
np (1 p) 29500 np np (1 p )
1
t2
e 2 dt
2π
30500 np 29500 np
np(1 p) np(1 p)
n 90000, p 1 , 3
400
而 X Xk ,根据独立同分布的中心极限定理，
k 1
400
随机变量
Xk
k 1
4001.1
X
4001.1
400 0.19
400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
11
于是 P{ X 450}
P
X
400 1.1 400 0.19
450 400 1.1
400
0.19
三、典型例题
例1
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 独立同分布,
且 E( Xk ) 0, D( Xk ) 2 , k 1,2, , 证明对任
意正数 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
解 因为 X1, X2 , , Xn , 是相互独立的，
所以
X12
,
X
2 2
,
, Xn2 , 也是相互独立的，
1 (0.387) 0.348
9
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05， 0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1 名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.