3
y
a
1 4
s
2
b
y
例 4-4
求立体截切后的投影
6
6 5
3
（5）
1 2
4
4
1 2
（3）
Ⅵ Ⅴ
3 5 1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
例4-5
已知棱台被截切后的正面投影和部分水平投影、试补全
其水平投影并作出侧面投影。
1’(4’)
2’(3’)
4”(3”)
1”(2”)
6”(8”) 5’(6’) 7’(8’)
截交线具有如下的性质
1）共有性 2）封闭性
平面体的截交 线是一个平面 多边形。
二、求平面体截交线的一般步骤
• 截交线的空间形状是立体的形状及截平面对立体的截切位置决 定的。
1．空间及投影分析
• 确定截交线的空间形状；
• 确定截交线的投影特性。如实形性、积聚性、类似性等。
• 确定截交线的已知投影，预见未知投影。
5”(7”)
6 4 3
8
1 5
2 7
4.1.2
平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由 曲线和直线所围成的平面图形或多边形。
1.
平面与圆柱相交
截平面平行于轴 线，交线为平行 于轴线的 两条平行直线
截平面垂直于轴 线，交线为 圆
截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆
平面与圆柱的截交线
a " b "
a' d' c' e'
b'
d" e" c"
y
y
a c
b
y
d
e
y
圆柱表面交线的三种情况
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面相交
两正交圆柱相贯线的变化趋势
例4-17 a' g'
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 e' d' f' b' h' d" e“(f “) a“(b“) g“(h“) c“
第四章 立体截切及相贯的投影
杨永前
4.1
平面体截切
4.1.1
平面与平面立体相交
4.1.2
平面与曲面立体相交
一、截交线的概念
截平面 截交线
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该 平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线， 截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截 平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范 围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线 或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。
两条平行直线
垂直于轴线的圆
椭 圆
例4-6 求斜切圆柱的截交线
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆；
1' 5‘6' 3‘(4‘) 7'8' 2' 8 2 8" 4" 6"
1" 5"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影积 聚在圆，侧面投影为矩形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ 、 Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。
例4-8
求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤
相贯线性质图例
4.2.2
1. 表面取点法
求两曲面立体的相贯线
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，迚一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 和侧面投影已知，正面投影 为双曲线并反映实形；
1’ 4’ 2’ 5’ 3’
1”
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、ⅡⅢ； 3 求出一般点ⅣⅤ ； 4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。
4”(5”)2”(3”)源自1 245
3
例4-12
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
例4-7
y
c'
d e a g c h f b
y
2.
辅助平面法
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使 辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
例4-18 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
1'
1"
4'
3' 5'
PV2 PV1 PV3
2"
y y
4" PW2
PW1 3" PW3
5"
2'
2 5
1 4
y
3
y
例4-19 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。
PV QV a’ a”
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
PW QW
RV
RW
df h b g a
c e
例4-20
PV2 PV3 PV4
2' 5' 3' 4'
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
1' 1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
1.两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直 轴线的圆
2.外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为 两条平面曲线—椭圆
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
4.2.4
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体 相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅵ
Ⅰ
4
6 1
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤：
（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截 交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可 见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓 素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
4” 5” 2’ 1’ 1” 2”
补个其水平投影，并作出侧面投影。
3’(4’) 5’ 3”
5 4 1
2
3
三、多个平面截切平面体
4.1.1
平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，迚而简化为求直线与平 面交点的问题。
二､求作圆柱与四棱锥的相贯线。
续
三､求作正三棱柱与圆锥的相贯线。
续
（2）求特殊点 相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓 转向点、曲线特征点和结合点四种。
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例4-16
已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
2 . 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点 3 . 求小辅助球面上的点Ⅲ
3
步骤2
2 ' 4 3 ' ' 1 ' 5 ' 1 "
2 "
4 "3 " 5 "
4 .求一般点Ⅳ、Ⅴ；
2
4 5 3
1
5 . 顺次连接各点，并判别 可见性； 6 .整理轮廓线。
4.2.3
相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线， 但特殊情况下可能是平面曲线或直线。
4.2
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4
立体与立体相交
概 述
求作两曲面立体的相贯线 相贯线的特殊情况 组合相贯线
4.2.1
概
述
立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面 的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回 转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲 线或直线。
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形；
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性； 4Ⅱ 整理轮廓线。
Ⅳ Ⅰ Ⅲ
例4-9
1'
求截切圆柱截交线的投影。
4' 5' 3' 4" 1" 5" 3" 2"