函数的图象 函数的图象【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1、描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1) ① 确定函数的定义域；② 化简函数的解析式；③ 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(2) 列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）； (3) 描点、连线，画出函数的图象. 2、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换 ① y ＝f (x )的图象 −−−−−→−轴对称关于x y ＝－f (x )的图象； ② y ＝f (x )的图象 −−−−−→−轴对称关于y y ＝f (－x )的图象； ③ y ＝f (x )的图象−−−−→−对称原点关于y ＝－f (－x )的图象；④ y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象 −−−−−−→←=轴对称关于x y y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换① y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象．② y ＝f (x )的图象 y ＝af (x )的图象．3、翻转变换 ⑤ y ＝f (x )的图象 −−−−−−−−−−−−−→−轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留x x y ＝|f (x )| 的图象. ⑥ y ＝f (x )的图象 −−−−−−−−−−−−−→−对称的图象于轴右边图象，并作其关保留y y y ＝f (|x |) 的图象．方法规律总结1、(1) 常见的几种函数图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m>0)的函数是图象变换的基础，需要严格掌握；(2) 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻转变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程． 2、识图、作图常用的方法如下．(1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2) 定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3) 函数模型法：由所提供的图象特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题． 1>a ，横坐标缩短为原来的a 1倍，纵坐标不变10<<a ，横坐标伸长为原来的a 1倍，纵坐标不变 1>a ，纵坐标伸长为原来的a 1倍，横坐标不变 10<<a ，纵坐标缩短为原来的a1倍，横坐标不变3、(1) 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．(2) 有关方程解的个数或函数零点个数的问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数． (3) 在运用函数图象处理问题时要保证函数图象的准确性.【指点迷津】【类型一】作函数图象【例1】：作出下列函数的图象：(1) y ＝2－x x ＋1； (2) y ＝|1|)21(+x ； (3) y ＝|log 2x －1|. 【解析】：(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝(12)|x ＋1|的图象，如图②所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．答案：【例2】：作出下列函数的图象：(1)）（1|2|+-=x x y ； (2) ⎩⎨⎧<+≥+=0,10,123x x x x y . 【解析】：(1)⎩⎨⎧<+-≥+-=+-=2),1)(2(2),1)(2(1|2|x x x x x x x x y ）（，可作图①；(2) ⎩⎨⎧<+≥+=0,10,123x x x x y ，可作图②.① ② 答案：（1）（2）【类型二】识图与辨图【例1】：函数y ＝1－1x －1的图象是( )．【解析】：将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案：B【例2】：已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)【解析】：y ＝f (－|x |)＝⎩⎨⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案：C【例3】：现有四个函数：① x x y sin =，② x x y cos =，③ |cos |x x y =，④xx y 2⋅=的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组为 （ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③ 【解析】：x x y sin =为偶函数，对应第一个图象；x x y cos =为奇函数，且当π=x 时， 0<y ，对应第三个图象；|cos |x x y =为奇函数，对应第四个图象；xx y 2⋅=为非奇非偶函数，对应第二个图象.答案：D【类型三】函数图象的应用【例1】：如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部的一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A ．1 B．2C ．3D ．4【解析】：①中应该是匀速的，故对应的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，故对应的图象正确；③中的变化规律是先快后慢再快，故对应的图象正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，故对应的图象正确． 答案：A【例2】：函数f (x )是定义在区间[－4，4]上的偶函数，其在区间[0，4]上的 图象如图所示，则不等式f （x ）cos x<0的解集为________．【解析】：在区间(0，π2)上，y ＝cos x >0，在区间(π2，4)上，y ＝cos x <0.由f (x )的图象知，在区间(1，π2)上，f (x )<0，所以f （x ）cos x <0.因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f （x ）cos x 为偶函数，所以f （x ）cos x <0的解集为(－π2，－1)∪(1，π2). 答案：解集为(－π2，－1)∪(1，π2).【例3】：某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克,如图所示为函数)(x f y =的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为A ．上午10:00B ．中午12:00C ．下午4:00D ．下午6:00【解析】：由图可得⎩⎨⎧≤<-≤≤=204,20400,40,80)(x x x x x f ，由≥)(x f 240，可解得83≤≤x ,故选C ．答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．函数y ＝log 2(|x |＋1)的大致图象是 ( )A B C D【解析】：首先判断函数的定义域为R ，又=)-(x f )(x f ，所以y ＝log 2(|x |＋1)为偶函数， 当>x 0时，y ＝log 2(x ＋1)．结合选项知选B.答案：B ．2．函数133-=x x y 的图象大致是( )【解析】：函数的定义域是{x ∈R |x ≠0}，排除选项A ；当x <0时，x 3<0，x 3－1<0，故y >0，排除选项B ；当x →＋∞时，y >0且y →0，故为选项C 中的图象． 答案：C.3．函数f (x )＝x ln |x ||x |的图象可能是( )A B C D 【解析】：易知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x . 答案：B ．4．函数y ＝|x |a xx(a >1)的图象的大致形状是 ( )A B C D【解析】：由题意知，y ＝|x |a x x ⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,0,x a x a x x ，又a >1，所以由 y ＝x a 的图象可知，B 选项符合题意 答案：B ．5．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】：由函数y ＝log a x 的图象过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中函数为y ＝x)31(，则其函数图象不正确；选项B 中函数为y ＝x 3，则其函数图象正确；选项C 中函数为y ＝(－x )3，则其函数图象不正确；选项D 中函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图象不正确． 答案：B.6．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()【解析】：设l 、2l 距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝21cos +x .△ABC 的边长为23，BE 23＝11t-，得BE ＝23(1－t )，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t )＋23＝23－43321cos +x ，当x ∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.答案：D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是__________________.【解析】：依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图象上，则Q (m ，n )在g (x )的图象上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)． 答案：a ∈(－∞，e)．8．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________________.【解析】：因为y ＝cos x π是偶函数，图象关于y 轴对称，所以本题可转化成求函数x y 3log =与y ＝cos x π的图象的交点个数．作函数图象如图所示，可知有三个交点，即函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点共有3对．答案：3对． 三、解答题9．分别画出下列函数的图象：(1) y ＝x 2－2|x |－1； (2) y ＝x ＋2x －1； (3) f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+,0),1(log ,0,3311x x x x .【解析】：(1) y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--)0(,12)0(,1222x x x x x x . 图象如图①.(2) 因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x ＋2x －1的图象，如图②. (3) 作出f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,log ,1,331x x x x ⎩⎨⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1的图象如图所示，再把f (x )的图象向左平移一个单位长度，可得到函数y ＝f (x ＋1)的图象．如图③.① ② ③ 答案：① ② ③【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．函数xx xy --=226cos 的图象大致为（ ）【解析】：可知，函数)(x f 为奇函数，又因为当)61,0(时，06cos >x ，022>--x x ，即0)(>x f ，D 正确. 答案：D2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A、）（21,0 B 、）（1,21C 、）（2,1D 、）（+∞,2 2-2【解析】：画出函数f (x )的图象，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.答案：B 二、填空题3.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________________． 【解析】：在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图象相切时， 由⎩⎨⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， 则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9. 故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图象有四个交点时，0<a <1或a >9. 答案：(0，1)∪(9，＋∞). 三、解答题4. 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝||x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，求实数a 的取值范围．【解析】：先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5. 函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈（0， 12）.答案：a ∈（0， 12）.【高考链接】1. （2016年全国I 卷理科第7题）函数xe x y -=22在[2,2-]的图象大致为 （ ）A BC D【解析】：08.288)2(22>->-=e f ,排除A ；17.288)2(22<-<-=e f ,排除B ；0>x 时，x e x x f -=22)(，x e x x f -='4)(，当)41,0(∈x 时，0441)(0=-⨯<'e x f ， 因此)(x f 在)41,0(单调递减，排除C ；故选D. 答案：D.2.（2013年湖北卷省理科第10题）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】：由题意可知函数图象最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图象可知，C 项符合． 答案：C ．3.（2014年湖北卷省理科第10题）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.]61,61[-B.]66,66[-C.]31,31[-D.]33,33[- 【解析】：因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 答案：B.。