电磁场理论习题课第二章、宏观电磁现象的基本规律2.3、半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。
当球以角速度?绕某一直径(z轴)旋转时，求其表面上的面电流密度。
解：面电荷密度为?s?Q24?R0?R0面电流密度为js??s?v??s?R0sin??Q4?R02?R0sin??Q?sin?4?R0???Js0。
已知导线的直径为d，导线中2.4、均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流Js?e电流为I0，求Js0。
解：每根导线的体电流密度为j?I04I0?(d/2)2??d2由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为js?jd?4I0?d因此，等效面电流密度为?4I0?? js?e?d2.6、两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间，为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。
当中间的点电荷带电量为?q0时，结果又如何？解：设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d?x。
由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为F1?14??2q0x2实验电荷受q0的排斥力为F2?1q04??(d?x)21q0要使实验电荷保持平衡，F1?F2，那么14??2q0x2?4??(d?x)2即得到1x?22?1d?0.585d如果实验电荷为?q0，那么平衡位置仍然为x?22?1d?0.585d只是这时实验电荷与q0和2q0不是排斥力，而是吸引力。
2.9、半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为?s0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。
解：面电荷密度产生的电场强度为??E(r)?14??0???(r?r?)?s0dS? ??S?|r?r?|3?根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。
2由于dS??R0sin??d??d??，那么???s0?zE(r)??e4??0?z ??e?02?d???0?/2sin2??d???s04?0如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为??Q32?R0?/32?R0?s032?R02?3?s0R0/3把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr?的球壳产生的电场强度为???zdE(r)??e?4?0dr?那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为???zE(r)??e?z ??e?z ??e?4?0?0R0dr??4?03?s04?0R02.11、求下列情况下，空间任一处的电场强度(1) 相距为d的两个无限大导电平板。
均匀分布着面电荷，密度分别为??s0；(2) 无限长的两个同轴圆柱面，均匀分布着面电荷。
半径分别为a和b(b?a)，单位长度的内柱电荷为?l，外柱电荷为??l；(3) 半径分别为R1和R2(R1?R2)的两个同心球面，带有均匀分布的面电荷，总量分别为q0(内球面)和?q0(外球面)。
解：(1) 首先根据电场强度特点构造一个圆柱，柱面侧面电场强度与其法向方向垂直，上端面法向方向与电场强度平行。
然后利用高斯定理2?S可以得到??D?dS?QD?S??s0S因此??s0?x E?e?dabR2R1(1)(2)(3)(2) 在半径为a和b之间构成圆柱，长度为l，那么圆柱上下端电场强度通量为零，测量通量为?S利用高斯定理??E?dS?2?rl2?rlEr??ll/?因此Er??l2??r如果构成圆柱的半径r?b，那么Er?0因此?0 r?b??E???l?e b?r?a???2??r(3) 在半径为R1和R2之间构成球，，那么球面电场强度通量为?S由高斯定理??2E?dS?4?rEr4?rEr?q0/?2因此E?1q04??r2因此空间电场强度为?0 r?R1??E??1q0?e R?r?R12?2r?4??r32.14、如图所示，两个半径分别为a和b(b?a)的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为?0。
两球面的球心相距为d，且d?a。
试求空腔内的电场。
解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为?0和??0，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?0、半径为b的圆柱产生的场和电荷密度为??0、半径为a的圆柱叠加。
由高斯定理，大圆柱产生的电场为?Eb?Q4??2rbbrbraad?b?r?0?4?rb小圆柱产生的电场为?Ea?Q23?rb?a??r?0?3?ra因此合成场为??0??0??0?Ea?rb?ra?d3?3?3??2.16、求半径为a、长度为L的圆柱面轴线上的磁感应强度B。
柱面????Js0。
?zJs0；(2) Js?e上的面电流密度为：(1) Js?e?解：(1) 由比-沙定律，我们首先求出长度为L的线电流产生的磁感应强度为??I0B?4????dl??(r?r?)??3 |r?r?| ?LL因此B???0I4??2dz?(z?z?)??22cos?]30L[(z?z?)??dz?(z?z?)[(z?z?)??222 ??0I4???0]3如果把圆柱面划分为很多细线，那么在轴线的磁感应强度B?0。
(2) 由比-沙定律，我们首先求出圆环细电流线在轴线上产生的磁感应强度为??I0B?4????dl??(r?r?) ??3|r?r?|??L4第三章、静电场及其边值问题的解法习题3.1、对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度。
(1) ?(x,y,z)?Ax2?Bx?C (2) ?(x,y,z)?Axyz(3) ?(?,?,z)?A?2sin??B?z (4) ?(r,?,?)?Ar2sin?cos?解：已知空间的电位分布，由E????和?2????/?0可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
?x (1) E??????(2Ax?B)e2????0????2A?0?x?xze?y?xye?z) (2) E??????A(yze????0???0???A?cos?e???B?e?z] (3) E??????[(2A?sin??Bz)eBzBz2????0?????0(4Asin??2??Asin?)???0(3Asin ???)?r?Arcos?cos?e???Arsin?e??) (4) E??????(2Arsin?cos?e????0?????0(6Asin?cos??2Acos2?cos?sin??Acos?sin?)3.5、如图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为?s0的面电荷，试求球心处的电位。
解：上顶面在球心产生的电位为?1?R2R1d1?s02?0(d1?R1?d1)?22?s02?0(R?d1)d2下顶面在球心产生的电位为?2??s02?0(d2?R2?d2)?22?s02?01(R?d2)2R2侧面在球心产生的电位为?3?4??0 ?S?s0R??s0S4??0R式中S?4?R2?2?R(R?d1)?2?R(R?d2)?2?R(d1?d2)。
因此球心总电位为???1??2??3??s0?0R3.10、位于x?0和x?d处的两个无限大导电平板间充满了???0(1?x/d)的体电荷。
若将x?0处的导电平板接触，而将x?d处的导电平板加上电压U0，试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。
解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x有关，因此空间电位分布也只与x有关。
由泊松方程可以利用直接积分法求出电位分布。
一维泊松方程为5d?dx22???0?0(1?xd)其通解为?(x)???06?0dx?3?02?0x2?C1x?C2由?(0)?0 ? C2?0 而由?(d)?U0 ? C1?因此板间电位分布为?(x)??U0d?2?0d3?0?06?0dx?3?02?0x2?(U0d?2?0d3?0)x板间电场强度为??0?0U02?0d2?x E?????[x?x?(?)]e2?0d?0d3?0从该式可以求出电场强度为零的位置为??4ac??0?0x??b?b2??0?220?4?02?0d(U0d?2?0d3?0)2a?0?0d2?0d3? 0??d?d1?2?0?0d(U0d?)由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为x??d?d1?2?0?0d(U0d?2?0d3?0)3.11、两块无限大导电平板间分别以两种不同的介质?1和?2。
当两极板之间外加电压U0时，试求电容器中电位和电场的分布以及极板上的面电荷密度。
?1S?1?22dSd?22Sd解：设介质1和介质2的电位分别为?1?C1x?C2?2?D1x?D2根据电位在介质界面的边界条件可得??Cx?D根据?x?0?0和?x?2d?U0，则6???根据E????，可以得到U02dx?U0?x E??e2d对导体表面?n?D?? e?n?E ?s?e??对x?0平板上e?n?e?x，则面电荷密度分别为?sU0??? S?y?2S1?2d ??U0??? 0?y?S22d??U0??12d S?y?2S ??U0?? 0?y?S22d??n??e?x，则面电荷密度分别为对x?0平板上e?s3.12、试求真空中下列圆柱对称的体电荷所产生得电位和电场。
(1) ?(?)??0a/? ??a(2) ?(?)??0 a???a (3) ?(?)??0?/a ??a 解：在圆柱坐标系下电位满足泊松方程?1?????1?2??2?????? ??2?????????2??2??z由于电位和电场的对称性，即?与?和z无关，则?2??????1?????????? ????????因此，可以利用直接积分法求解问题。
(1) ?(?)??0a/? ??a????0a?0??C1ln??C2?0，则根据自然边界条件，?????有限，???0?0a????1???0 ????Cln??C12?2在??a上??1??2????????? 12??????可得到关系式7??????????0a?0?0a?0a?C1lna?C2?C11a由此可见C1??C2??0a2?0?0(lna?1)?0a23.13、如图所示，半径为a的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为?l，其一半埋于介电常数为?的介质中，一半露于在空气中，试求各处的电位和电场强度。
解：根据题意，空间中电位分布与?和z无关，则可以利用直接积分法得到?1?A1ln??A2 ?中?2?B1ln??B2 ?0中?l?0?a 根据不同介质分界面电位的连续性可知A1?B1和A2?B2，则??A1ln??A2 若设无限长导体圆柱上电位为0，也即?(a)?0，则??A1ln?a由高斯定律，首先构成一个长度为l，半径为?的圆柱，则?A1(?01???1?)???l??ll因此A1???l?(?0??)?l因此电位为???(?0??)lna?根据电位与电场的关系可以求出?E??????l?(?0??)??? e3.14、对同轴电容器，其中部分填充了介质?，其余为空气。