第4章 振动一、选择题1(C)，2(B)，3(C)，4(E)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题 (1). 、-/2分、．(2). k m /22π、k m 2/2π (3). )21cos(04.0π+π=t x(4). )214cos(04.0π-πt(5). )212/5cos(1022π-⨯=-t x(6). 0.05 m ，-0.205π（或-36.9°） (7). 3/4，g l /2∆π(8). 291 Hz 或309 Hz(9). 4×10-2m ，12π(10). )212cos(π-t A ω三、计算题1. 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm求：(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，∴ T = 8 s ， = (1/8) s -1，s -1(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=由上二式解得 tg = 1 因为在A 点质点的速度大于零，所以 = -3/4或5/4（如图） 25cos /==φx A cm ∴ 振动方程 )434cos(10252π-π⨯=-t x (SI)(2) 速率 )434sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 当t = 0 时，质点在A 点v Bx A BO t = 0t = 2 st = 4 sφωv A v BA B v x221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==tx v m/s2．如图1所示，一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．解：取如图x 坐标，平衡位置为原点O ，向下为正，m 在平衡位置时弹簧已伸长x 00kx mg = ①设m 在x 位置，分析受力, 这时弹簧伸长0x x + )(02x x k T += ②由牛顿第二定律和转动定律列方程： ma T mg =-1 ③ βJ R T R T =-21 ④ βR a = ⑤ 联立解得mR J kxa +-=)/(2由于x 系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为222)/(mR J kR mR J k+=+=ω3.质量m = 10g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ； (4) 平均动能和平均势能．解：(1) A = 0.5 cm ；= 8 s -1；T = 2/= (1/4) s ； = /3(2) )318sin(1042π+π⨯π-==-t xv (SI))318cos(103222π+π⨯π-==-t xa (SI) (3) 2222121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J(4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(vm T 1T 2T 1NMg xx 0mgm图1⎰π+π⨯π-=-Tt t m T 0222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5J = E 21同理E E P 21== 3.95×10-5J4.一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动的周期T 和角频率．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相．(3) 写出振动的数值表达式． 解：(1) 1s 10/-==m k ω63.0/2=π=ωT s(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v0 < 0 由 2020)/(ωv +=x A得 3.12020-=--=x A ωv m/s π=-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4/3 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=31φ (3) )3110cos(10152π+⨯=-t x (SI)5.如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F =10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为 )cos(φω+=t A x ．恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． A 即振幅．4/2==m k ω (rad/s)2= 2 rad/s ． 按题目所述时刻计时，初相为 = ．∴物体运动方程为 )2cos(204.0π+=t x (SI)．OFx m 图5四 研讨题1. 简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相？参考解答：对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，ϕ值就不同。

例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则ϕ值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，则ϕ等于π。

由于ϕ是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。

简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。

思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？2. 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。

因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。

若振子的质量为M ，弹簧的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，可以计算出，在考虑了弹 簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为km M T 3/2+=π例：劲度系数为k 、质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑水平面作直线运动。

求解弹簧振子的振动周期( m <M )。

解：平衡时0 点为坐标原点。

物体运动到x 处时，速度为v .设此时弹簧的长度为L ，取弹簧元d l 分析：质量l L m m d d =，位移为x Ll（前提: 弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律），速度为：v.Llt x L l =d d弹簧、物体的动能分别为：202161)d (21v v m L l l L m E L k =⎪⎭⎫⎝⎛=⎰，2221v M E k =.系统弹性势能为：22kx E P =.系统机械能守恒，有：=++222216121kx m M v v 常数即 =++2221)3(21kx m M v 常数将上式对时间求导，整理后可得：0d d )3(=++kx tm M v即 03d d 22=++x m M k tx 令 32m M k+=ω比较简谐振动微分方程，知 km M T 3/22+==πωπ.3. 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐运动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐运动，这两种简谐运动有什么不同？参考解答：这两种振动虽都是简谐振动，其振动的表达式)cos(ϕω+=t A x 形式也相同，但两种运动有很多的不同，这可从振动的运动学特点和动力学特点两个方面来说明。

从运动学来说，两种振动的频率、振幅、初相、速度、加速度的情况都各不相同；从动力学来说，两种振动的受力情况、振动方程（动力学方程）以及振动的能量特点都各有不同。

无阻尼自由振动：谐振过程中221kA E =为定值，不受外界影响，周期为振子的固有周期， 稳态受迫振动：谐振过程中需不停地受外力作用，补充能量才能保证获得稳态受迫振动，周期为策动力的周期．。