第一章质点运动学1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。

（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

解：（1）由x=2t 得，y=4t 2-8 可得： y=x 2-8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 22(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j =则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8ri j v i j a j =+=+=2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速度为0v ，求运动方程)(t x x =.解：kv dt dv-= ⎰⎰-=t vv kdt dv v 001 tk e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt ev dx tk tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的d d r t ，d d v t ，tv d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2r t v t i gt j =+（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）0d -gt d rv i j t = 而落地所用时间 gh2t = 所以 0d -2gh d r v i j t =d d v g j t=- 2202y 2x )gt (v v v v -+=+= 2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）d 22d r v ti j t ==+ d 2d va i t== 2）112222[(2)4]2(1)v t t =+=+2d 2d 1t vt a tt ==+ 12222+=-=t a a a t n第二章质点动力学1、(牛顿定律)质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。

若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？ 解：f 为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图（a ）、(b)可得：F Mg Ma -=1()()F M m g M m a -+=+则11(),Ma mg m a g a a a a m M m M-+==-=++2、 (牛顿定律) 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．证：设两个摆的摆线长度分别为1l 和2l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1θ和2θ，摆线中的张力分别为1F 和2F ，则0cos 111=-g m F θ ① )sin /(sin 1121111θθl m F v = ② 解得：1111cos /sin θθgl =v第一只摆的周期为 gl l T 111111cos 2sin 2θπθπ==v同理可得第二只摆的周期 gl T 222cos 2θπ= 由已知条件知 2211cos cos θθl l = ∴ 21T T = 习题2.1—2.6m 1 m 2习题2.1一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为3/1044005t F ⨯-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。

设子弹离开枪口处合力刚好为零。

求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；（3）子弹的质量。

解：（1）由3/1044005t F ⨯-=和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044005=⨯-=t F 算出t=0.003s 。

（2）由冲量定义：3335520400410/3400210/30.6I Fdt t dt t t N s ==-⨯=-⨯=⋅⎰⎰（）（3）由动量定理： 习题2.2 质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求：(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．解：(1)取子弹与物体为研究对象，子弹前进方向为x 轴正向， 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v ' 有 m v 0 = m v +M v 'v ' = m (v 0 - v )/M =3.13 m/sT =Mg+M v 2/l =26.5 N(2) s N 7.40⋅-=-=∆v v m m t f (设0v 方向为正方向) 负号表示冲量方向与0v 方向相反．习题2.3一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．习题2.2图M0v30.60.6/3000.002I Fdt P mv N sm kg ==∆==•==⎰所以：解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即： 00.2107.8 1.96F P P ky mg gy y ==-=-=- 人的拉力所作的功为： 0d d HW W F y ==⎰⎰＝10(107.8 1.96)d =980 J y y -⎰习题2.4 如图所示，质量m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数μ 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少？解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222121v m kx x f r -=- 而mg f k r μ=木块开始碰撞弹簧时的速率为s m mkx gx k 83.522=+=μv习题2.5某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F ，相应伸长为x ，力与伸长的关系为 F ＝52.8x ＋38.4x 2（SI ）求：(1)将弹簧从伸长x 1＝0.50 m 拉伸到伸长x 2＝1.00 m 时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2＝1.00 m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x 1＝0.50 m 时，物体的速率．解：(1) 外力做的功(2) 设弹力为F ′11222'1v d d 312x x x x m F x F x W J==-==⋅⎰⎰1v 5.34ms -==习题2.4图习题2.6两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。

A 紧靠墙。

今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。

（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

解：2020222121kx v m = v v 2）（2102m m m += 所以mkx v 3430=（2）22122022212121v m m kx v m ）（++= 计算可得：021x x =3、(变力作功、功率、质点的动能定理)设76()F i j N =-（1）当一质点从原点运动到3416(m)r i j k =-++时，求F 所作的功；（2）如果质点到r 处时需0.6s ，试求F 的平均功率；（3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

解：（1）0F dr ⋅⎰rA=(76)()i j dxi dyj dzk -⋅++⎰r=076dx dy -⎰⎰-34=45J =-，做负功（2）45750.6A P W t === （3）0r k E A mgj dr ∆=+-⋅⎰ =-45+40mgdy -⎰ = -85J 4、（机械能守恒、动量守恒）如图所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m 小物体，从高H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C 点之后，继续沿水平面平稳地滑行。

设m 所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m 到达C 点瞬间的速度；（2）m 离开C 点的速度；（3）m 在C 点的动量损失。

解：（1）由机械能守恒有 212c mgH mv =带入数据得2c v gH =，方向沿AC 方向 （2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以cos c mv mv θ=，得2cos v gH θ=，方向沿CD 方向（3）由于受到竖直的冲力作用，m 在C 点损失的动量2sin p m gH θ∆=，方向竖直向下。

第三章刚体的运动书：3.3用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为的飞轮支承在点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动，记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。

试写出它的计算式。

（假设轴承间无摩擦R O m 习题2.6图解：如习题3.3(b)图,对飞轮而言，根据转动定律，有T F R J =α（1）对重物而言，由牛顿定律，有'T mg F ma -= 'T T F F = （2）由于绳子不可伸长，因此，有a R =α （3）重物作匀加速下落，则有212h at =（4） 由上述各式可解得飞轮的转动惯量为 22(1)2gt J mR h=- 3.4如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。