精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型C-等差数列求和计算 C -等差数列求和应用 C-等差数列求和拓展授课日期及时段 教学内容1、请讲解示范循环小数化成分数的方法。

2、计算： 1＋361＋5121＋7201＋9301＋11421＋13561＋15721＋17901课堂导入德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

我们也常把数列求和的计算称为“高斯求和”。

知识点梳理知识点1：数列的基础知识（1）数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….（3）通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.（4） 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.（5） 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列（6）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.知识点2：等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．知识点3：等差数列的简单性质（1）首尾项性质如果a 1、 a 2 、……a n ,是等差数列，则a 1+a n =a 2+a 1-n =……（2）等差中项性质及中项定理等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．知识点4：等差数列求和公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2 等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数()11232n n n ++++= 2)12(531n n =-++++一、专题精讲题型1：简单数列求和例1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19分析：这是简单的等差数列，根据首尾性质、求和公式，即可求。

解：=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20x5=100=21991 =995.5二、专题过关检测题：一、计算下面各式的结果。

1. (1+3+...+1991)-(2+4+ (1990)=1+(3-2)+(5-4)+…+(1991-1990)=1+1+…+1=9962. 1-3+5-7+9-11+…-1999+2001=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(2001-1999)=1+2+2+…+2=10013. 100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=100+(99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+…+10+(9-7)+(8-6)+5+(4-2)+(3-1)=(100+95+…+10+5)+2+2+…+2=402202)5100(⨯+⨯+ =105×10+80=11304. 1992+21-131+221-331+421-531+…+199021-199131 =[(2-1)+(4-3)+ …+(1992-1991)]+[(21-31)+(21-31)+ …+(21-31)] =996+996×(21-31) =996+996×61 =996+166=1162课堂导入我们学了等差数列的求和，我们来看看等差数列的在应用题中的应用。

一、专题精讲例1：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？分析：根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

例2：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？提示：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。

握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。

解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即 44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）答：同学们共握了990次手。

例3：100与500之间能被9整除的所有自然数之和是多少？解：根据题干，100到500之间，能被9整除的自然数组成的等差数列为：9×12，9×13，…，9×55，共有55-12+1=44（个），（108+495）×44÷2，=603×22，=13266．故答案为：13266．二、专题过关检测题：1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？答案: 15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）2、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？解：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。

所以，一共握手的次数为：52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）答：一共握了1378次手。

3、100～200之间不是3的倍数的数之和是多少？解100至200这101个数的和为：（100+200）×101÷2=15150100以后：第一个是3的倍数的数为102=34×3第二个是3的倍数的数为105=35×3第三个是3的倍数的数为108=36×3…从102到200共有200-102+1=99个数在这99个数中，能被3整除的数的个数为：99÷3=33个．因此，这些数的和为102+105+…+198=（102+198）×33÷2，=4950．所以，100到200之间不是3的倍数的数字之和是：15150-4950=10200．4、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，这7个数的和是解：（19+91）×7÷2，=110×7÷2，=385；故答案为：385．5、在124和245之间插入10个数以后，使它们构成为一个等差数列．在这10个数中，最小的数是多少？最大的数是多少？解：公差是：（245-124）÷（10+2-1），=121÷11，=11，最小的数是：124+11=135，最大的数：245-11=234．故答案为：135，234．三、学法提炼1、专题特点：等差数列的求和应用，在计算的过程中，往往不是只有一列数列，有时会涉及到两个或多个数列混合在一起。

在等差数列求和的应用中，也注意此类情况的出现。

本专题是在前面的基础上进行的应用提升，强化学生对等差数列的认识，提升应用能力。

2、解题方法（1）求和公式的应用（2）首尾性质、中项定理的应用3、注意事项（1）注意找准项数，别忘+1；（2）在数列求和的混算中，注意分清几种数列；（3）注意在两列的数列的加减过程中注意符号的应用。

课堂导入在同一个专题上，我们要把同一个专题里的知识研究透了，就能成为其中的专家。

一、专题精讲题型1：等差数列+常数列例：有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．分析：仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1．可分为664组，最后一个也是1，即665个1，其余是1993-665=1328个数，即除了1之外，最大是1993，最小应是1993-1328+1=666，首先算出这1328个数的和再加665个1即可．解：1×665+（666+1993）×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241；答：这1993个数的和为1766241．题型2：等差数列例：吴老师外出开会，7天没有回家，回来后一次撕下这7张日历，发现这7张日历数相加得119，那么吴老师回家这天是几号？（第四届“创新杯”数学邀请赛试题）分析：先求出119的中位数，也就是这7天当中的第4天，即119÷7=17，第4天是17日，那么第7天就是20日，工作的最后一天是20日，那么回家的这一天就是21日．解：119÷7+3+1=17+3+1=21（号）；答：吴老师回家这天是21号．题型3：等差数列与平均数例：一群小朋友分一堆糖，第1个小朋友拿了1块，第2个小朋友拿了2块，第3个小朋友拿了3块 依此类推，后拿糖的小朋友都比他前面的小朋友多拿1块，这群小朋友刚好把这堆糖分完。

如果平均分配，每个小朋友刚好可以分到10块糖。

这堆糖共有多少块？（2005年武汉奥数挑战赛试题）分析：因为第1个小朋友拿了1块，第2个小朋友拿了2块，第3个小朋友拿了3块…依次类推，后拿糖的小朋友比他前面的小朋友多拿1块；再根据平均分配，每个小朋友可拿10块糖，知道10为第一个小朋友与最后一个朋友拿到糖的块数的平均数；最后一个小朋友拿糖的块数是10×2-1，由此即可得出这堆糖总数。