顾客数状况，与过去时刻
t1,时t2顾,客,数tn的2 状况无
关。这个特性就是随机过程
x(t) : t 0
的Markov特性。
我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这个
时刻的状态。根据系统状态 x的(t)Markov特性，容
易研究在时间区间 (t,t 内t)系统状态的转移概率，为
研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。
t
t
即在t时间内，事件发生多于1次的概率为 o(。t)
定理1设 x(t) :t是 0最 简单流，则对任何 和a 0 t 0 都有 Prx(a t) x(a) k (k)k et (k 0,1,2, )
k!
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t) :t 0
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
Pr(t,内t 多于t) 一名顾客进入 Pr(t,t内没t有) 顾客离开
o(t) et 1 t o(t)
Pr(t,t内有t一) 名顾客离开
tet t o(t)
Pr(t,内t 多t于) 一名顾客离开
o(t)
导出 pn (满t)足的微分方程组
p0(t t) p0(t)(1 t) p1(t)t(1 t) o(t) p0 (t t) p0 (t) p0 (t)t p1(t)t o(t)
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 lim Prx(a t) x(a) 1 0
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时 间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它直 接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期， 即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排 队系统中，忙期与闲期是交错出现的。
（三）Poisson流与指数分布
2.排队系统的稳态解
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t) Prx(t) n
利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时
间区间 (t,t 内，t) 新进入或离开顾客个数有以下结果：
Pr(t,内t 没有t) 顾客进入
et 1 t o(t)
Pr(t,内t 新进t) 入一名顾客
tet t o(t)
的长度(tn1,tn )，即
tn tn1
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2, , x(tn1) in1
Pr x(tn ) in x(tn1) in1
直观地说，如果知道现在时刻 tn时1 系统的顾客数
状况，那么从概率意义上来说，将来时刻 时系tn 统的
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另 求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务 可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机 服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损 失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排 队，若排队的位置已满就离去。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
于是12分钟内进入15k名! 顾客的概率
Prx(12) 15
1
(
5
12)15
512
e3
0.0516
15! 3
(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布
Pr n
t
1 0
et
t0 t0
则所求概率为
Pr n
1
5
e3
0.1888
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程 为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务 台的情形，即M／M／1排队系统。
取a 0 得
Prx(t) k (k)k et
k!
Ex(t) t
(k 0,1,2, )
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t) :t 构0成Poisson过程时，就称为
Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1,t2,,…,，tn
(3)服务机构
服务机构主要指服务台的数目，多个服务台 进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务 时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广泛 采用，这里仅针对并列的服务台。
记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分 布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。
中的顾客数。
对于任何 0 t1 t条2 件 概 t率n
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2, , x(tn1) in1
由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，
则无论x(t)在 t1,t2,处,tn取何值，上式条件概率仅依赖于
的值和x(t区n1 )间
PrT t1 T t0 PrT t1 t0
上式可改写为：对任何 t0 ，0 都有
PrT t0 xT t0 PrT x
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
于 岁t0，则再活x年的概率与以前的 (年t0)无关，所以
有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。 上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek—— k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／ 1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在 接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待服务 的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾客和 服务机构最关心的数量指标，特别是对系统设计者 来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间的大 小。
顾客源
到来
排队机构
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负 指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模 型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t) :t， 其0 中 为时x刻(t) 时排队系t 统
发生的时间间隔记为 n tn tn1(n，1其,2,中 ) 。 t0 0
定理2 事件流 x(t) :为t P0oisson流的充要条件是
x(t) :t的 0流 发生时间间隔 相互 n独 立，且服从相同的
负指数分布，即
Pr n
t
1 0
et
t0 t0
3.负指数分布的Markov特性
定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从 负指数分布的充要条件是：对任何 t1 t0， 都0 有
当 时t 有0
p0(t) p0 (t) p1(t)
对 n1
pn (t t) pn1(t)t pn (t)(1 t)(1 t) pn1(t)t o(t)
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
故pn (t满)足的微分方程组
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由 输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应包 括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明顾 客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确 定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的顾客 (或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
n 1,2,
对于系统的稳定状态情形， pn (与t)t无关，