分数: ___________任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业学年学期：2013-2014第二学期课程名称：优化理论和最优控制学生姓名：学号：提交时间：2014年4月26日《优化理论和最优控制》结课总结摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。

尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。

这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。

最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。

关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value.Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， TheTime Domaint ’s Model ， The Frequency domain ’s Model ，The Control Law 0 引言最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。

在20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。

由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。

经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。

而实际上碰到的更多的是容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们去探索、求解最优控制问题的新途径。

下面介绍本课程的主要内容，线性规划：单纯形法和对偶规划；非线性规划：共轭梯度法、最速下降法和牛顿法，还有最优控制问题。

1 优化理论的数学模型1.1 基本数学概述线性规划的标准形式：12111112211112212max (,,,)(),,,0n n j jj n n m m mn n m n f x x x c x a x a x a x b LP a x a x a x b x x x =⎧=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪≥⎪⎪⎩∑方程解的情况:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧有无穷多最优解有唯一最优解有最优解无最优解有可行解无可行解 有规划数学的基本知识可以知道：二维线性规划问题若有最优解，则最优解一定可在可行域的某个顶点上达到。

1.2 一维搜索1.2.1 进退法进退法特点&适用条件：->可以用相同的试点数计算出最精确的解的估计区间.->所用函数)(t f 为下单峰函数基本算法：->确定试点个数n->根据相对精度δ，得出Fibonacci 数Fn->使n 是满足δ≤nF 1的最小数。

->对于初始区间],[00b a 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--)()(0010100101a b F F a t b a F F b t n n n n 计算函数值)(),(11t f t f '，比较其大小 若)()(11t f t f '<，则令121101,,t t t b a a =''==，并令)(111212b a F F b t n n -+=-- 否则，令120111,,t t b b t a '===，并令)(111212a b F F a t n n -+='-- 如第3步继续迭代，通式为2,,2,1,)()(11111111-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--+-----+---n k a b F F a t b a F F b t k k k n k n k k k k k n k n k k 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++='+=-------))(21()(212221221n n n n n n n a b a t b a t ε，其中ε是充分小的数在11,--'nn t t 两点中以函数值较小的为近似极小点，相应的函数值为近似极小值，并得最终区间],[12--'nn t a 或],[21--n n b t 1.2.2 黄金分割法黄金分割法实际上是试探法的一种，它根据单峰函数构造。

设F(x)是搜索区间[a ，b]上的单峰函数。

为了进行一维搜索，求一维目标函数的极小点，我们可以采用试探方法来进行。

为了逐步缩小单峰区间．在区间内任取两点1x ，2x 算函数值为F 1（x ）和F 2（x ）)，比较这两个函数值的大小，将出现以下三种情况。

(1)当F F 12（x ）<（x ）时，由于函数单峰性．极小点必于区间2[a x ]内，这时可丢掉2[x b]，把搜索区间缩小为2[a x ]。

(2)当F F 12（x ）>（x ）时，同理．极小点必在区间1[x b]内．把搜索区间缩小为1[x b] 。

(3)当F F 12（x ）=（x ）时，这时极小点应在区间12[x x ]内，缩小了区间。

若计算出搜索区间内两个点函数值，能把搜索区间缩短，这样不断的重复，就可越来越精确的估出区间0x 的位置，这就是试探法的基本思想。

F 1（x ）F 2（x ）1x 2x a b若第一次选取的试点为21x x <，则下一步保留区间为[a,x 2]或[x 1,b]，两者的机会是均等的，因此选取试点时希望x 2-a=b-x 1，实际计算取近似值：0.382(),0.618()a b a a b a =+-=+-12x x黄金分割法是Fibonacci 法的极限形式。

每次缩小区间的比例是一致的，每次将区间长度缩小到原来的0.618倍。

2 线性规划2.1 单纯形法线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn 中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。

顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。

因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。

如果问题无最优解也可用此法判别。

根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n 的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。

使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。

这样，一个或多个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。

求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。

最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在三种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。

②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。

⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。

现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有10^6个决策变量和10^4个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。

2.2 对偶规划原始规划与对偶规划是同一组数据参数，只是位置有所不同，所描述的问题实际上是同一个问题从另一种角度去描述。

推论若0x 是原始线性规划的可行解，y 1是对偶线性规划的可行解，00cTx bTy =，则0x 与y 1分别是原始线性规划问题与对偶线性规划问题的最优解。

对偶的线性规划都有最优解的充要条件是两者都有可行解。

若原始线性规划问题与对偶线性规划问题之一具有无界的目标函数值，则另一个无可行解。