BC AB AC , , A'B' A'C' B'C'
A A/
,你有什么发现?
(3)△ABC和△ A’B’C’ 相似吗? B
C
B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A , B B
/
/
A
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A/
分析:要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是 B C B/ C/
已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
A
D
利用相似三角形的 利用相似三角形的 条件不够 可以证明！ 定义？ 预备定理？
B
C
E
F
把小的三角形移动到大的三角形上。 怎样创造具备预备定理条件的图 形？
是否相似？
判定定理 3 ：如果一个三角形的两个角与另一 已知 :在△ ABC 和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E, 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 求证 : △ABC 与△ DEF. 形相似。 (两角对应相等，两三角形相似 )
A
F
D
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
综合提高
如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
C
ADLeabharlann B应用新知：画一画
4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C 的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的 三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线 共有 （ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
C B' C'
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A
400
D
800
600
800 C
600
B
E
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗? (2)分别度量这两个三角形的边长,计算
应用新知：
4、判断题：
想一想
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(× )
填一填
应用新知：
选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.
5 30 45 1 30 105 4 2 30 9 2 105 45 5 2.5 6 30 4.5 4 3 30
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
ADE ACB 85
又 A A=35
E C
B
△ADE △ACB
AD AE AC AB
即ADAB=AEAC
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB· AD
证明： AC平分DAB
BAC＝CAD
又 ACD＝ABC
例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. C
用数学符号表示：
D E C B/
A
A/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C/
P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
----“两角”定理
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
2、课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ / A A/ A A 550
550 750 500
750
B
C
B/
C/
B A
C
B/ A/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠ A、∠ A/分别是顶角， 求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 B
即PA·PB=PC·PD
C
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB= AE· AC
解： 在△ADE中，ADE=180 A AED 180 35 60 =85
A D
35° 85° 60° 85°
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。 为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。 已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
应用新知：
证一证
4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °
A
3 1
1
2
B
1
E
1
F
1
C
已知零件的外径为25cm，要求 它的厚度x，需先求出它的内孔 直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量 （如图），若OA：OC=OB： OD=3，CD=7cm。求此零件的 厚度x。
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
A D D B 图 3 C B 图 4 D
●
(或者∠ B＝∠ ADE)
D
E
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A B C B′ C′ B
A C
B′ C′
如果人体高度 AC ＝ 1.7 米，人影长 BC ＝ 2.2 米，而 B′C′ ＝ 176 米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
A
E
C
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一
点P，求证：PA·PB=PC·PD 证明：连接AC、BD。 ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角， ∴∠ A=∠D。 A 同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 ∴△PAC∽△PDB。 O· ∴
D P B
PA PC PD PB
A
D
B
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A E F
F
E
B
D
C
D
C
课外思考题： 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 （提示：图有两种可能） ΔABC相似？ A A D E B C B C
A
D
△ACD △ABC
B
C
AC AD ＝ AB AC ACAC＝ABAD
即AC ＝AB AD
2
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD· AB