计算机科学计算答案第一章绪论矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析目录第一章误差分析与向量与矩阵的范数 (1)1. 内容提要................................. 错误！未定义书签。
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第二章矩阵变换与计算................................ 错误！未定义书签。
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第三章矩阵分析...................................... 错误！未定义书签。
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第四章逐次逼近...................................... 错误！未定义书签。
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第五章插值与逼近.................................... 错误！未定义书签。
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第六章插值函数的应用................................ 错误！未定义书签。
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第七章常微分方程数值解.............................. 错误！未定义书签。
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第八章矩阵特征对的数值解法.......................... 错误！未定义书签。
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自测试卷Ⅰ........................................... 错误！未定义书签。
自测试卷Ⅰ参考答案................................... 错误！未定义书签。
自测试卷Ⅱ........................................... 错误！未定义书签。
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自测试卷Ⅲ........................................... 错误！未定义书签。
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1）向量范数定义存在R上的一个非负实值函数，记为f(x)?x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数??R 非负性x?0，并且x?0的充分必要条件为x?0;齐次性n?x??x；三角不等式x?y?x?y．则称函数?为R上的一个向量范数．常用三种的向量范数设任意ｎ维向量x?(x1,x2,?,xn)T，，Tnx1??xi，向量的1-范数i?1n?n2?x2???xi??i?1? x?1?i?n12?xT?x??x,x?2，向量的2-范数1?maxxi，向量的?-范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数?，其加权的范数可以表为xW?Wx，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理R上的任何向量范数x均为x的连续函数。
向量范数的等价性定理设??和?为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量?nnx无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立c1x2). 矩阵范数定义存在R任意的A,B?Rn?n??x??c2x?，其中?x?Rn.上的一个非负实值函数，记为f(A)?A，对均满足以下条件：n?n非负性：对任意矩阵A均有A?0，并且A?0的充分必要条件为A?O; 齐次性：?A??A，?∈C；三角不等式：A?B?A?B, A,B?Rn?n；相容性：AB?A?B, A,B?Rn?n，则称?为Rn?n上的矩阵范数。
我们可定义如下的矩阵范数：Am???aij，矩阵的m1-范数1mni?1j?1?2??AF?????aij???，矩阵的F-范数范数。
?i?1j?1?mn12 对于一种矩阵范数?果对任意n×n矩阵A和任意n维向量x, 满足M和一种向量范数?V，如AxV?AMxV，则称矩阵范数? 3）矩阵的算子范数定理已知R上的向量范数?V，A为n×n 矩阵，定义AnM与向量范数?V是相容的。
M?maxx?0AxVxV?maxAxVxV?1则AM是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。
三种常用的矩阵的算子范数A1?max?aij；(列范数) 1?j?ni?1mA??max?aij．(行范数)1?i?mj?1n A2TT??ma(xAA), T其中?max(AA)表示矩阵AA的最大特征值。
对任何算子范数?，单位矩阵I?Rn?n的范数为1，即I?1。
可以证明：①任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数．②一个矩阵范数可以与多种向量范数相容；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容。
③从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。
④并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
4）矩阵范数的性质①设?为Rn?n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A 均有?(A)?A．其中?(A)?max?det??I?A??0为方阵A的谱半径。
T注意：当A?A时，A2????max?ATA???max?A2???max?A???(A)。
n?n ②对于任给的ε>0, 则存在R使得 A ③对于Rn?n上的一种算子范数?M，M??(A)??．n?n上的一种算子矩阵范数?，如果A?R且A?In?A??1二、典型例题分析?1．1?A例1．1：下列近似值的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？a?，b??，c??10?4 解：现将近似值写成标准形式：a??103, b???10?1, c??10?4, 在直接根据有效数字定义得出，x?a?1?10?2 ?k?n?3?n??2?n?5，即a有5位有效数字；21x?b??10?2 ?k?n??1?n??2?n?1，即b有1位有效数字；2x?c?1?10?2 ?k?n??4?n??2?n??2，即c无有效数字。
2m例1．2：已知x的相对误差为，求a的相对误差。
解：此题要利用函数计算的误差估计，即取f?x??xm，f??x??m?xm?1，则f?x?? f?a??f??a??x?a?，可推出x?a?m?ammm?1??x?a?，故am的相对误差为xm?amx?a?m??。
ama例1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求f?x??x3???在x?处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。
在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。
精确值x x2 x3 111 01 104 104 135 135 3位数值3位数值精确值：f???????? 3位数值：f?????104?134?????? 3位数值：f?????105?135?????? 上述3位数值方法的相对误差分别是?????，截断法?，舍入法??作为另一种办法，用秦九韶方法可将f?x?写为f?x??x3??????x??x??x? 那么，3位数值：f???????????? ???????? ???????????????? 3位数值：f???????????? ???????? ???????????????? 则相对误差分别是?????，?，??可见使用秦九韶方法已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的10%之内。