导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） Ax f ax =→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。

（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。

右极限： =+)0(a f Ax f a x =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限 *定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。

A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。

定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =+∞→lim 。

定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。

运算法则：1) 1)若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。

2) 2)若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim 。

3) 3)若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。

注：上述记号lim 是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义 ~0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。

（5）无穷大的定义0>∀M ，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有M x f >|)(|，则称函数)(x f 在a x →时的无穷大（量），记为∞=→)(lim x f ax 。

直线a x =为曲线()x f y =的垂直渐近线。

2．无穷小的性质定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

!无穷小与无穷大的关系若∞=→)(lim x f a x ，且)(x f 不取零值，则)(1x f 是a x →时的无穷小。

3．极限存在的判别法 （1）Ax f ax =→)(lim ⇔A a f a f =+=-)0()0(。

Ax f x =∞→)(lim ⇔Ax f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 。

（2）Ax f ax =→)(lim ⇔α+=A x f )(，其中α是a x →时的无穷小。

（3）夹逼准则：设在点a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有 )()()(x h x f x g ≤≤，且已知A x g a x =→)(lim 和Ax h ax =→)(lim ，则必有 Ax f ax =→)(lim 。

4．极限的性质（1）极限的唯一性 若A x f ax =→)(lim 且Bx f ax =→)(lim ，则B A =。

（2）局部有界性 若Ax f a x =→)(lim ，则0>∃M ，在点a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有M x f <|)(|。

/（3）局部保号性 （I ）若Ax f ax =→)(lim ，且0>A （或0<A ），则必存在a 的某个去心邻域),(ˆδa N ，当),(ˆδa N x ∈时，有0)(>x f （或0)(<x f ）。

（II ）若在点a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有0)(≥x f （或0)(≤x f ），且A x f a x =→)(lim ，则0≥A （或0≤A ）。

5．极限的四则运算与复合运算 设c 是常数，，，B x g A x f ax ax ==→→)(lim )(lim 则（1）；B A x g x f ax ±=±→)]()([lim （2）；B A x g x f ax ⋅=⋅→)]()([lim（3）；A c x f c ax ⋅=⋅→)]([lim（4）；，0)()(lim≠=→B B Ax g x f ax【 （5），，有，且，若00)()0(),()(lim )(lim 0u x g a U x A u f u x g u u ax ≠>∈∀==Λ→→δδ则Au f x g f u u a x ==→→)(lim )]([lim 0.6．两个重要极限（1）1sin lim 0=→x x x ； （2）ex x x =+→10)1(lim 或 e x x x =+∞→)11(lim 。

7．无穷小的阶的比较若α和β都是在同一自变量变化中的无穷小量，且≠β0，则（1）若0lim=βα，则称α关于β是高阶无穷小量，记作)(βαo =； （2）若1lim =βα，则称α和β是等价无穷小量，记作βα~；（（3）若)0(lim≠=c c βα，则称α和β是同阶无穷小量，记作)(βαO =；一般情况下，若存在常数0>A ，0>B ，使成立 B A <<||βα，就称α和β是同阶无穷小量。

（4）若以x 作为0→x 时的基本无穷小量，则当)(kx O =α（k 为某一正数）时，称α是k 阶无穷小量。

定理1 )(~ααβαβo +=⇔。

定理2 设αα'~，ββ'~，且 βα''lim存在，则βαβα''=limlim 。

常用的等价无穷小0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+xe x x x x x x ，221~cos 1x x -。

（二）函数的连续性~1．定义若函数)(x f y =在点a 的某个邻域内有定义，则)(x f 在点a 处连续 ⇔)()(lim a f x f ax =→0lim 0=∆⇔→∆y x 。

2．连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。

3．间断点（1）间断点的概念不连续的点即为间断点。

^（2）间断点的条件若点0x 满足下述三个条件之一，则0x 为间断点： （a ）)(x f 在0x 没有定义； （b ）)(lim 0x f x x →不存在；（c ）)(x f 在0x 有定义，)(lim 0x f x x →也存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。

（3）间断点的分类：（i ）第一类间断点：在间断点0x 处左右极限存在。

它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点0x 处左右极限存在且相等； 跳跃间断点：在间断点0x 处左右极限存在但不相等；（ii ）第二类间断点：在间断点0x 处的左右极限至少有一个不存在。

；4．闭区间上连续函数的性质 （1）概念若函数)(x f 在区间),(b a 上每一点都连续，在a 点右连续，在b 点左连续，则称)(x f 在区间],[b a 上连续。

（2）几个定理最值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在此区间上必有最大和最小值。

有界性定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在此区间上必有界。

介值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任一值c ，必有],[b a x ∈-，使得c x f =-)(。

零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，若0)()(<⋅b f a f ，则必有),(b a x ∈-，使得0)(=-x f 。

（三）导数 1．导数的概念 ，（1）定义 设函数)(x f y =在点a 的某个邻域内有定义，当自变量在点a 处取得改变量)0(≠∆x 时，函数)(x f 取得相应的改变量 )()(a f x a f y -∆+=∆，若极限x a f x a f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点a 处的导数（或微商），记作a x a x a x x x f x yy a f ===''d )(d d d )(或，，。

导数定义的等价形式有a x a f x f a f ax --='→)()(lim)(。

（2）左、右导数左导数 a x a f x f a f a x --='-→-)()(lim )( 右导数 a x a f x f a f a x --='+→+)()(lim )()(a f '存在 ⇔)()(a f a f +-'='。

{2．导数的几何意义函数)(x f y =在点a 处的导数)(a f '在几何上表示曲线)(x f y =在点))(,(a f a M 处的切线的斜率，即)(a f k '=，从而曲线)(x f y =在点))(,(a f a M 处的 切线方程为 ))(()(a x a f a f y -'=-法线方程为)()(1)(a x a f a f y -'-=-3．函数的可导性与连续性之间的关系函数)(x f y =在点a 处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。

即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

因此，若函数)(x f 点a 处不连续，则)(x f 点a 处必不可导。

4．求导法则与求导公式（1）四则运算 若w v u 、、均为可导函数，则v u v u '±'='±)(， v u v u uv '+'=')(，w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(， u c cu '=')(（其中0≠c 为常数），2)(v v u v u v u '-'='， 2)1(v v v '-='（0≠v ）。

（2）复合函数求导设)(u f y =，)(x g u =，且)(u f 和)(x g 都可导，则复合函数)]([x g f y =的导数为x u u y x y d d d d d d ⋅=。