第二章 导数与微分一、主要内容小结1. 定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2） 定理与运算法则定理1 )(0x f '存在⇔='-)(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导.导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)(u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)()0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v vudv vdu v u d （3）基本求导公式2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）.（7）分段函数微分法3. 高阶导数（1）定义与基本公式高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()()2sin()(sin )(π⋅+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π⋅+=n kx k kx n nn m n m x n m m m x -+-⋅⋅⋅-=)1()1()()( !)()(n x n n =n n n x n x )!1()1()(ln 1)(--=-莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法4. 导数的简单应用(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率二、 例题解析例2.1 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问：（1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续；（3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？解 函数)(x f 在x=0点的导数：lim →x =--0)0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x xx K 1sin )(⋅ = 0lim →x x x K 1sin )(1⋅-= ⎩⎨⎧>≤101K K 当，，当发散即 ⎩⎨⎧>≤='1,01)0(K K f 不存在，当1>K 时, )(x f 的导函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅-⋅='--0,00,1cos 1sin )(21x x xx x Kx x f K K为使='→)(lim 0x f x 0)0(='f ，取2>K 即可。

因此，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x x x x f K当K ≤1时，)(x f 在0=x 处不可导；当2=K 时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数在0=x 处不连续；当2>K 时，)(x f 在0=x 处可导且导函数在0=x 处连续。

例2.2 tgx x ctgx x y +++=1cos 1sin 22， 求dxdy 。

分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。

解 xx x x x x x x x x y cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 3333++=+++= = x 2sin 211-。

所以 x y 2cos -=' 。

如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。

例2.3 x arctge y =1ln 22+-x xe e ，求dxdy 。

分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。

解 因为 x arctge y =)]1ln([ln 2122+--x x e e )1ln(212++-=x x e x arctge所以 )('='x arctge y )]'1[ln(212++'-x e x = 122111222++-+x x x x e e e e 112+-=x x e e例2.4 设=y )()(x f x e e f ，求dx dy 。

解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有 dxdy = +')()(x f x x e e e f )()()(x f e e f x f x '= +'x x x f e e f e )([)()]()(x f e f x '。

例2.5 设方程 )cos(22y x e xy y +=+, 求 y '.本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。

解 (方法一) 方程两端同时对x 求导( y 看作x 的函数)(x y y =),由复合函数求导法可得)21()sin(222y y y x y e y xy y y '+⋅+-='+'+)sin(22)sin(222y x y e xy y x y y y +++++-='(方法二) 方程两边同时微分：))(cos()(22y x d e xy d y +=+⋅++-=++)2)(sin(222ydy dx y x dy e xydy dx y ydx y x y dy y x y e xy y )]sin([)]sin(22[(222++-=+++所以 )sin(22)sin(222y x y e xy y x y dx dy y +++++-=例2.6 已知⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x , )(t f 为二次可微函数,且 0)(≠''t f ，求 dx dy , 22dx y d 。

分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。

解 因为 )]()([t f t f t d dy -'== dt t f t )(''dt t f t f d dx )()]([''='=所以 t dtt f dt t f t dx dy =''''=)()( 。

又 dt dx dy d =)(所以 =22dx yd =)("1)("t f dt t f dt dx dy dx d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛ 。

常见错解： 22dx yd 1)'(==t 。

错误原因 没有搞清求导对象.22dx y d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d 是一阶导数dx dy 对x 求导,而't 是一阶导数对t 求导。

例2.7 求函数 12+=x xy 的微分。

解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21xx d dy 222111x x xd dx x ++-+= = 22221)1(1211x x d x x dx x +++⋅-+ =2322222)1(111x dxx dx x x dx x +=++-+例2.8 设2323+-=x x x y , 求 )(n y 。

分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿)()(n m x 的表达式写出所给定的有理函数的n 阶导数。

解 11283)1)(2(67)3(---++=---++=x x x x x x x y )(n y = )(1)(1)(])1[(])2(8[)3(n n n x x x -----++= n n n n x n x n --------⋅⋅-+11)1(!)1()2(!8)1(0 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----++11)1(1)2(8!)1(n n n x x n （2≥n ） 例2.9 设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=0,10,)(2x x x e x f x 求)(x f 的导函数)(x f ' 的连续区间，若间断，判别类型，并分别作)(x f 与)(x f '的图形。

分析 函数)(x f 是用分段表达的函数. 在0=x 的两侧： 当0>x 时，x e x f =')(； 当0<x 时， x x f 2)(='.因此，在 0=x 处，)(x f 的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。

解 因为 =-=-→-x f x f f x )0()(lim )0('0011lim 20=-+-→x x x11lim )0()(lim )0('00=-=-=++→→+xe xf x f f x x x ，所以 )(x f 在0=x 处不可导。

故 ⎪⎩⎪⎨⎧<>='0,20,)(x x x e x f x。

因为在0=x 处)(x f '无定义，所以0=x 是)(x f '的间断点 又因为-→0lim x )(x f ' = -→0lim x )2(x = 0 ；)(lim0x f x '+→ = 1lim 0=+→x x e所以 0=x 为)(x f '的跳跃间断点。