A ．a 9Ba 7 C.S15D ． S162018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60分. 在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 .5i1. 已知 i 虚数单位，复数 3i 对应的点在复平面的（ ）3A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21 2. 已知集合 A {x|x a} ，B {x|log 1(x 24x) log 2 }，若 A B，则实数 a 的取25值范围为（ ． [0,4] C ． ( , 1] D ． ( , 1)4. 设随机变量 N （ , 2） ，则使得 P （ 3m ） P （ 3） 1成立的一个必要不充分条件为 （）2A ． m 1或 m 2B ． m 1 C. m 1 D ． m或 m 235.执行如图所示的程序框图，若输出的结果 S 3，则判断框内实数 M 应填入的整数值为A ． ( 1,5)3. 设 a ， b ， c ，d ， x 为实数，且 b a 0 ， c d ，下列不等式正确的是（ A ． d a c dC ． b c a dDa a |x|b b |x|A． 998 B ． 999 C.1000 D ．10016.已知公差不为 0的等差数列{a n} 的前n项和为S n，若a92 a72，则下列选项中结果为 0的是（）22xy7.设 A 1， A 2分别为双曲线 C: 2 2 1（a 0， b 0 ）的左、右顶点，过左顶点 A 1的ab直线 l 交双曲线右支于点 P ，连接 A 2P ，设直线 l 与直线 A 2P 的斜率分别为 k 1，k 2，若 k 1，k 2） D ． 2 21，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的A ． 8 16B ． 8 C.16 D ． 8 16 29. 已知曲线 y x 33x 和直线 y x 所围成图形的面积是 m ，则 （y x m ）5的展开式中 x 3项的系数为（ ）的最大值为（ ）A ． 7B ． 10 C.8 D ．12 11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射 光线经过椭圆的另一个焦点 .根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C 的方程为x 2 4y 24 ，其左、右焦点分别是 F 1， F 2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P ，且 | PF 1| 1，过点互为倒数，则双曲线 C 的离心率为（A ． 1B ． 2 C. 32A ． 480 B． 160 C.1280 D．64010. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(0, 4) ， AB (2,0) ， AB (2,0) ，BC BA (1, 1)，设 Px(,y ) ，AP mAB nAC ，若 m 0 ， n 0 ，且 m n 1，则 x 2y 体积为（ ）P且与直线l垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ，则|F1M |:|F2M | （）A．2: 3 B ．1: 2 C. 1:3 D ．1: 312.将给定的一个数列{a n}：a1，a2，a3，⋯按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列 .如在上述数列中，我们将a1作为第一组，将a2，a3作为第二组，将a4，a5 ，a6作为第三组，⋯，依次类推，第n组有n个元素( nN*)，即可得到以组为单位的序列：(a1)，(a2,a3)，(a4,a5,a6) ，⋯，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1个括号称为第 1群，第 2个括号称为第 2群，第 3个数列称为第 3群，⋯，第n个括号称为第n 群，从而数列{a n} 称为这个分群数列的原数列 .如果某一个元素在分群数列的第m个群众，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群众的第k个元素 .已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27 ，⋯，将数列分群，其中，第 1 群为( 1)，第 2 群为( 1,3 )，第 3 群为(1,3，32)，⋯，以此类推.设该数列前n项和N a1 a2 a n ，若使得N 14900成立的最小a n 位于第m 个群，则m ( ) A．11 B ． 10 C.9 D ．8第Ⅱ卷二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 若函数f (x) kx log 3 (1 9x) 为偶函数，则k ．9 9 3 314. 已知sin(x )cos cos(x )sin ，x ( , ) ，则tan2x ．14 7 14 7 5 215. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献 . 为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A、B 、C、D参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C对B说：“你没有获得一等奖” ，B对C说：“你获得了二等奖” ；A对大家说：“我未获得三等奖”，D对A 、B 、C说：“你妈三人中有一人未获奖” ，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种．(用数字作答)16.已知G为ABC的重心，点P 、Q分别在边AB ，AC上，且存在实数t，使得PG tPQ.若AP AB AQ AC ，则 1 2 1．三、解答题（本大题共6小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a cosB 2c b. （1）求角A 的大小；（2）若ABC的面积S 3 3，D为BC边的中点，AD 19，求b c.2218. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标 . 近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中1 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测该企业 2017 年 7 月份的市场份额；2 如图是该机器人制造企业记录的 2017 年 6 月 1 日至 6月 30日之间的产品销售频数（单位 : 天）统计图 .设销售产品数量为s，经统计，当0 s 200时，企业每天亏损约为 200 万元，当200 s 400时，企业平均每天收人约为 400 万元;当s 400时，企业平均每天收人约为 700 万元。

①设该企业在六月份每天收人为X , 求X 的数学期望 ; ②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于 1200 万元的概率。

附: 回归直线的方程是国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业 2017 年 1月至 6 月的市场份额进行了调查，得到如下资料 :n19. 如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，侧面 ABB 1A 1为矩形， AB 1， AA 1 2 ， D 为棱AA 1的中点， BD 与 AB 1交于点 O ， CO 侧面 ABB 1A 1， E 为 B 1C 的中点 .1)证明： DE 平面 ABC ；2)若 OC OA ，求直线 C 1D 与平面 ABC 所成角的正弦值20. 已知焦点为 F 的的抛物线 C ：y 22px ( p 0 )与圆心在坐标原点 O ，半径为 r 的O 5交于 A ， B 两点，且 A(2, m) ， | AF | ，其中 p ，r ， m 均为正实数 .2(1)求抛物线 C 及 O 的方程；(2)设点 P 为劣弧 AB 上任意一点，过 P 作 O 的切线交抛物线 C 于Q ， R 两点，过Q ，的直线 l 1， l 2均于抛物线 C 相切，且两直线交于点 M ，求点 M 的轨迹方程 . 21. 已知函数 f (x) ln x k ， g(x) e x，其中 k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底 数.1)设 F(x) f (x) g (x) ，若函数 F ( x)在区间 [1,e] 上有极值点，求实数 k的取值范围； e 2)证明：当 k 1时，1 xf (x) g( x)[1 g( 2)]恒成立 .y bx a(x i x)(y i y)i1n(x i x)2a y bx(x i x)(y i i1y) 35x1i1请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为x 2 2cos，（为参数），直线l的y 2sinx 2 t, 参数方程为（t为参数，k为实数），直线l与曲线C交于A B两点.y 2 kt（1）若k 2，求| AB |的长度；（2）当AOB 面积取得最大值时（O为原点），求k 的值.23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f （x） | x 2| |4x|.（1）求不等式f（x） 6x 1的解集；4 a 6,a 0,（2）若g（a） a 证明：不等式f（x） g（a）恒成立 .a2 2a 1,a 0,22a cosB 2c b ，由正弦定理，得 2sin AcosB 2sinC sinB .又sinC sin(A B) sin AcosB cos A sin B ， 所以 2sin AcosB 2sin AcisB2cos Asin B sinB ，即 2cos Asin B sinB .1因为 sinB o ，故 cosA2所以 A32)由 ABC 的面积 S 12 bc sin A 43bc 323，得 bc 6.1又D 为 BC 边的中点，故 AD (AB AC)，2 2 1 2 2 19 因此 | AD |2 1 (c 2 b 2bc) 19 ， 44故 c 2 b 2bc 19 ，试卷答案、选择题1-5:DDDAA 6-10:CBADB11、12：CB、填空题13.-1 14.24 715.12 16.3三、解答题17. 解：（ 1）因为即(c b)2 bc 19 ，故(c b)2 19 bc 25.所以b c 5.18. 解：(1)由题意，x 1 2 3 4 5 6 3.5，611 13 16 15 20 21 y 11 13 16615 20 21 16，故(x i x)2 17.5 ，b 2，i1由a y bx 得a 16 2 3.5 9 ，则y 2x 9.当x 7 时，y 2 7 9 23 ，所以预测该企业 2017 年 7 月的市场份额为 23%.(2)①设该企业每天亏损约为 200万元为事件A ，平均每天收入约达到 400万元为事件B ，平均每天收入约达到 700 万元为事件C ，则P(A) 0.1，P(B) 0.2，P(C) 0.7.故X 的分布列为所以E(X) 200 0.1 400 0.2 700 0.7 550 (万元) .②由①知，未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况 . 则P 0.23 C320.72 0.1 C32 0.72 0.2 C32 0.22 0.7 0.73 0.876 . 所以该企业在未来三天总收入不低于 1200 万元的概率为 0.876.19.解：(1)取BC中点为F ，连接EF ，DE ，FA ，由EF 1BB1，AD 1BB1，EF BB1，AD BB1，22得EF DA ，且EF DA ，0,33 由AC n 3 y 3 z所以四边形 ADEF 为平行四边形所以 DE AF ，又因为 AF 平面 ABC ， DE 平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC .2)由已知 BD AB 1 (BA DA) (2AD AB) 又 CO 平面 ABB 1 A 1 ，所以 OD ， OA ， OC 两两垂直 .以O 为坐标原点， OD ， OB 1 ， OC 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，所以 C 11 3 6DC ( 66,233, 33).设平面 ABC 一个法向量为 n (x,y,z) ，0 OA OD.则经计算得 A(0, 3,0) ， 3B( 36,0,0) ，C(0,0, 33)，D( 36 ,0,0) ， 因为 CC 1 2AD ，所以 AB ( 6, 3,0) ， 33 AC (0, 33, 33)，y 0,则由 y y 1 k(x y 21)y 2 2x,得 ky 2 2y 2y 1 ky 12 0 ，2 2 1 令 ( 2)2 4k(2y 1 ky 12) 0 ，解得 k ，故 l 1 ： y 1 x y1 ，1 y 12 同理 l2 ： y 1 x y2.y 2 2令 x 1 ，得 n (1, 2, 2) .设直线 C 1D 与平面 ABC 所成的角为则 sin 3 555520. 解：（ 1）由题意， | AF | 2 p 5 ，故 p1 。