2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
文数（三）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A
B =（ ）
A ．{|02}x x ≤<
B ．{|03}x x ≤≤
C ．{|12}x x <<
D ．{|13}x x <≤
2.设函数1,0()1,02x
x x f x x +≥⎧⎪
=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）
A ．
3
2
B
1 C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =，(0,1)b =，2(2,3)c xa yb =+=(,)x y R ∈，则x y +=（ ） A ．4 B ．5 C ．3 D ．2
4.若实数x ，y 满足约束条件1
13
x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5.命题p ：若复数21i
z i
=
-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）
A ．p q ∧是真命题
B ．()p q ∧⌝是真命题
C ．()p q ⌝∨是真命题
D ．()p q ∨⌝是假命题 6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）
A ．80
B ．96
C ．112
D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6π B ．56π C ．3
π
D ．23π
8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）
A ．
14 B ．23 C ．35 D ．3
10
9.如图，AB 为经过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2
p
x =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．512π
10.一个几何体的三视图如图所示，
且该几何体的表面积为32π++则图中的x =（ ）
A ．1 B
．
3
2
D
11.已知数列{}n a 满足2
*1232()n n a a a a n N ⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N ∈都有
12111
n
t a a a ++⋅⋅⋅+<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
12.若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）
A ．
132e e +- B ．3
2e e
++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知{}n a 是等差数列，n S 是其数列的前n 项和，且410
3
S =-
，1221a a +=，则3a = ．
14.已知圆C 的方程为2
2
(2)(1)1x y ++-=，则圆上的点到直线0x y -=的距离的最小值
为 ．
15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为 ．
16.已知双曲线1C ：2
212
x y -=，曲线2C ：1y x =+，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C ，2C 都有公共点，则称点P 为“差型点”.下面有4个结论： ①曲线1C 的焦点为“差型点”； ②曲线1C 与2C 有公共点；
③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”.
其中正确结论的个数是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知ABC ∆，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.
18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.
（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？
（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310
n
，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -
=++++，其中n a b c d =+++.
19.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6
DBC ∠=
，2BD BC ==，2AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.
（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.
20.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，
B 两点.
（1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，1
2
AB a =
，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3
22
2a AB a b
=+，求椭圆的短轴与长轴的比值.
21.已知曲线()x mx m f x e -=
在点(1,(1))f 处的切线斜率为1
e
-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21
()cos sin f x x x x e
+
>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，
2sin ρθ=.
（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6
π
α=
时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23
b c
f x x a x =-++
+的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；
（2）求证：444222
222a b c a b c b c a
++≥++.
文数（三）
一、选择题
1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA
二、填空题
13. 4
3
-
14. 12 15. 1296 16. 3
三、解答题
17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，
由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2
A =. ∵0A π<<，∴3
A π
=.
又
2sin b
R B
=（R 为外接圆半径）
，2b =，R =
∴sin B =
4B π=或34
π（舍）. ∴5()12
C A B π
π=-+=
. （2）由（1）知，4
B π
=或
34
π， 又B 为锐角，∴4
B π
=
.
由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
4()2a c ac =+--.
∵3a c +=，∴49(2ac =-，
∴(25ac +=， ∴
ac =
∴1sin
24ABC S ac B ∆=
=54=.。