③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
i jk
r L
rr
pr
x
y
z
px py pz
Lx ( ypz zpy ) Ly (zpx xpz ) Lz ( xpy ypx ) ④角动量的单位为: kg ∙ m2/s
二、质点系对固定点的角动量
质点系的角动量是各个质点对同一固定参 照点的角动量的矢量和。
r M
r dL
dt
对此式分离变量积分
tr
rr
t0 Mdt L L0
比较
r F
r dp
dt
—角动量定理的微分形式
—角动量定理的积分形式
t
r Fdt
pr
pr 0
t0
与动量定理在形式、结构上一致。
在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的 力矩和角动量必须都是对同一固定点。
四、力矩
r M
rr
r F
m r o r0
其力矩为零。
则小球对o 点的角动量守恒。
初态 末态 角动量守恒 所以 或
mv0r0 mr020
mvr mr2
mr 2 mr020
8.0
7.83km/s
行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？
例题 ：
用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速
率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径
逐渐减小。(1)求当半径缩为 r 时的角速度。
(2)这一过程中绳子对木块的拉力所做的功vr 。
解：以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是 角动量。因此我们引入角动量的概念。
我们已经看到，角动量概念与线动量类似， 但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物 理量。
也有时称其为动量矩。
定义： 角动量
r L
rr
mvr
(矢量)
r L 的大小为 ：r
L rmv sin
θ为 rr和 m的vr 夹角，
教学基本要求
一 理解质点对固定点的角动量、力 矩的概念。
二 理解角动量守恒定律及适应条件， 并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1 质点的角动量定理
一、质点的角动量(Angular momentum of particl )
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心 运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星 绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等 等。
夹角: π
对C点的合外力矩不为零，角动量不守恒。
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。
解： 角动量守恒
r
且
近地点 远地点
r
vr1 v2
r
rr1 r2
r v1
r1
o
vr2 rr2
则 mv2r2 mv1r1
v2
r1 r2
v1
6370 181 6370 327
r
M rF sin
其中θ为
rr和ห้องสมุดไป่ตู้
r F的夹角
M rF sin
rF
M Fr sin
rF
力对某一固定点
的力矩的大小等于此
力和力臂的乘积。
r
r M
0 rr
r F
r
rr
F
F
讨论
关于力矩
①力矩的单位为： N∙m ②在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：
r M
rr
r F
i x
jk yz
Fx Fy Fz
此时动量
pr mvr
因速度的方向一直在改变而不守恒，
但质点的位矢与动量的矢量积 rr mvr 是一个常矢量
它的大小为 mvr ， 方向始终垂直于纸面向外。 rr mvr 就是质点的角动量，
因此角动量保持守恒。 显然，位矢 rr 的掠面速度vr / 2在圆周上各点相等。
但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的
M
x
yFz
zFy
M y zFx xFz
M
z
xFy
yFx
上式也称为力对轴的力矩。
③有心力对力心的力矩为零。
始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。
五、角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
由：
r M
r dL
r 若 M 0
dt
则有：
在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适 用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
角动量与动量一样，是一个重要概念。
引例 ①对于作匀速直线运动的质点，既可以用动量也
可用角动量的概念进行描述。
设质点沿 AB 作匀速直线运 动，在相等的时间间隔Δt 内，走 过的距离 ΔS = vΔt 都相等。
处引位选矢择Orr 为。原rr 点在，单从位O时到间质内点扫 过的面积，称为掠面速度。
由于各三角形具有公共高线 OH ，
因此掠面速度相等:
dS
1 vt OH 2
1 vr sin
1 r 2
常量
dt
t
2
2
式中
v sin
r
ω 相当于质点绕O点转动的角速度。
由上式可得： mvr sin 常量
写成矢量式： rr pr rr mvr 常量
②再来看有心力场的简单情形。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动
r L 常矢量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩 的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。
—角动量守恒定律
例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
例 题 ： 质 量 为m的 圆 锥 摆 摆 球 ， 以 速 率υ运 动 时 ， 对O参 考 点 的 角 动 量 是 否 守恒 ？ 对C参 考 点 的 角动量是否守恒？
l c
T
m R o υ
mg
解：摆球受力如图
1 以O为
重力矩 M
参考点
R
mg
M Rmg 逆时针
张力矩
M RT
M RT sin 900 θ RT cosθ Rmg 顺时针
对O点的合力矩为零，角动量守恒。
2 以C为参考点
重力矩：
M l mg
张力矩
M lmgsinθ M l T 0
rr
L Li i
三、角动量定理
类比质点的动量定理
dpr
d
mvr
m dvr
r F
dt dt
dt
考查质点角动量
r L
rr
mvr
的变化率：
r dL
d（rr
mvr）
rr
d (mvr )
drr
mvr
dt dt
dt dt
rr
r F
vr
mvr
rr
r F
令
rr
r F
r M
─力矩
于是有
r M
r dL
dt
可见: 引起转动状态改变的原 因是由于力矩的作用
r L
的方向为
rr
和
mvr的右旋。
r L
0
rr
mvr
讨论
关于角动量
①角动量与位矢有关，
谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。
②当质点作圆周运动时，θ= π / 2
角动量大小为：
L mvr mr2
当质点作一般平面运动时， 角动量为：
i
r L
rr
pr
x
jk
r
y 0 ( xpy ypx )k
px py 0