第1章 光纤光栅光学性质的研究光纤光栅是一种全光纤的滤波器件，它的光学性质决定了它的广泛应用。

研究光纤光栅光学性质的基本理论是耦合波理论。

基于耦合波理论的传输矩阵法是一种快速数值模拟非均匀光纤光栅光学特性的方法。

在本章，系统地总结了应用耦合波理论研究光纤光栅的光学性质的方法。

光栅反射带宽是其作为滤波器的主要性能指标，本章研究了光栅参数对光栅反射带宽的影响。

其它主要研究包括寻找传输矩阵法中分割段数的最优值，各种参数对线性啁啾光纤光栅光学性质的影响，包括反射谱和时延特性受光栅长度、光纤折射率微扰幅度、啁啾系数和光波从不同方向入射时的影响，以及各种切趾函数对光纤光栅的作用。

第一节 研究光纤光栅的基本理论：耦合波理论1 光纤光栅中的折射率分布光纤光栅中的折射率微扰是由制作时所用紫外光的场分布决定的。

一般全息曝光和相位图2.1-1几中典型光纤光栅的折射率微扰分布a uniform gratingb chirped gratingc Gauss gratingd phase shift gratinge Moire gratingf super structure grating掩模板法制作光纤光栅时的场分布具有余弦函数的形式，所以光栅的折射率微扰也具有余弦函数形式，一般可以写为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡φ+Λπν+δ=δ)z (z 2cos )z (1)z (n )z (n eff eff(2.1-1))z (n eff δ是折射率微扰的平均值，可以看成一个光栅周期内折射率变化的直流部分，ν是光栅条纹的可见度，Λ是光栅的周期，φ(z)可以用来描述光栅的啁啾。

光纤光栅的光学性质就决定于上式中各个参数的选择，我们将它们统称为光栅参数。

光纤光栅的光学性质就由这些光栅参数决定，通过选择它们沿光纤方向不同的变化形式，可以得到适用于不同目的的光栅。

图2.1-1是几中常见的光纤光栅的折射率微扰的分布示意图：1. 均匀光纤光栅：各个光栅参数沿光纤方向是常量，这种光栅可以得到解析的理论分析结果，是耦合波理论分析光纤光栅光学性质的出发点。

2. 线性啁啾光纤光栅：光栅周期Λ沿光纤方向是线性变化的量，应用于色散补偿等方面。

3. 折射率微扰平均值沿光纤方向是一个高斯型分布：实际制作的光纤光栅很多都属于这种类型。

4. 相移光栅：在光栅周期性结构中存在一个相位移动，一般是π。

可以应用于透射型滤波器。

5. MOIRE 光栅：折射率微扰幅度的轮廓是一个余弦函数，而平均值是一个常数。

6. 超结构光栅：由间隔一定的微均匀光纤光栅（几百个周期结构）组成。

2 耦合波理论研究电磁场在光纤光栅这样的周期性波导中传播的基本理论是耦合波理论[1]。

假设电磁场横向分量在光纤中的传播可以看成没有折射率微扰时标准光纤的模式的叠加：()()()()()[]()y x e z i z B z i z A z y x E jtj j j j j t ,exp exp ,,∑⋅-+=ββ(2.1-2)式中A j (z)和B j (z)分别是第j 个模分别沿＋z 和－z 方向传播时缓变的幅度函数。

()y ,x e tj是第j 个模的横向分量的场分布，可以是束缚模、包层模和辐射模。

在理想的、没有折射率微扰的光纤中，这些模相互正交没有能量交换。

在紫外光的照射下，光纤芯部的折射率发生改变。

这种变化很小，一般为10－4，是一种微扰。

折射率微扰的引入使得模式之间发生能量交换，即发生模式耦合。

一个模式沿光纤方向幅度的变化是所有模式相互作用的结果[2]：∑∑∑∑β-β-K +K -β+βK -K -=β+β-K -K +β-βK +K =kkj k z k j t k jk j k z k j t k jk j k k j k z k j tk j k j k z k j t k j k j ]z )(i exp[)(Bi]z )(i exp[)(Aidz)z (dB ]z )(i exp[)(Bi]z )(i exp[)(Aidz )z (dA (2.1-3)式中tk j K 是横向耦合因子，可以表示为：{}⎰⎰∞*⋅⋅ε∆ω=K dxdy )y ,x (e )y ,x (e )z (4)z (jt k t t k j(2.1-4)其中∆ε(z)是相对介电常数受到的微扰，它和光纤有效折射率变化之间的关系为)z (n n 2)z (eff eff δ⋅⋅≈ε∆(2.1-5)很明显如果没有微扰，耦合因子就等于零，模式之间的能量交换就不存在。

z k j K 类似，但比较小，一般忽略不计。

将式2.1-5带入式2.1-4，耦合因子可以被表示成：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡φ+Λπ⋅κ⋅+σ=K )z (z 2cos 2z )z (k j k j tk j(2.1-6)其中dxdy )y ,x (e )y ,x (e 2)z (n n )z (corejt k t eff eff k j ⎰⎰*⋅δω=σ ,)z (2)z (k j k j σν=κ，在这里我们只对纤芯积分，这是由于折射率变化主要发生在纤芯，而在包层折射率微扰几乎没有。

由式我们可以把σkj 看成直流耦合因子，而κkj 是交流耦合因子。

光纤光栅的主要作用是把波长为布拉格波长附近的光波耦合到模式相同但传播方向相反的模式。

在单模光纤中束缚模只有一种，如果入射波为A(Z)反射波是B(Z)，式2.1-3所描述的耦合波方程可以简化为下式：)z (R i )z (S ˆi dz)z (dS )z (S i )z (R ˆi dz )z (dR κ-σ-=κ+σ= (2.1-7)式中)2/z i ex p()z (A )z (R φ-δ=)2/z i ex p()z (B )z (S φ+δ-=dzd 21ˆφ-σ+δ=σ(2.1-8)而δ是传播常数失配，定义为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λπ=β-βΛπβδD eff D 11n 2＝－＝，λD ＝2n eff Λ定义为光栅的布拉格波长。

对于单模布拉格光栅，我们有如下关系：ηδλπ=σeff n 2，ηδνλπκκ*eff n ＝＝。

式中η是一个接近1的数值，物理含义是光纤芯部中电磁场的能量占总能量的百分比。

式2.1-6，2.1-7，2.1-8是我们研究光纤光栅光学特性的出发点。

第二节 均匀光纤光栅的光学特性均匀光纤光栅是最简单的光纤光栅，其耦合波方程有解析解，因此有很高的理论研究价值，光纤光栅的很多基本光学特性都可以从均匀光纤光栅的分析出发。

在很多应用中光纤光栅的反射带宽是一个重要的性能指标，本节我们主要研究了折射率微扰幅度和光栅长度对反射带宽的影响。

1 均匀光纤光栅的反射谱如果光栅沿z 方向均匀，即eff n δ是一个常数并且0dzd =φ，κ，σ，σˆ，Λ均为常数。

用适当的边界条件可以解式2.1-7给出的耦合波方程。

设光栅长L ，范围是从－L/2到L/2，并且前向波和反射波满足边界条件：02L S =⎪⎭⎫⎝⎛。

反射系数ρ和反射率r 可以由下式求出：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ρ2L R 2L S ，2r ρ=(2.2-1)对于均匀光纤光栅，ρ和r 可以得到如下解析解：1553.01553.21553.41553.61553.81554.00.00.20.40.60.81.0R e f l e c t i o nWavelength (nm)图2.2-1 均匀光栅的反射谱)ˆcosh(ˆ)ˆsinh(ˆ)ˆsinh()2()2(22222222L k k i L k L k k L R L S σσσσσρ--+---=--= (2.2-2)2222222ˆL ˆcosh L ˆsinh r κσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-κ⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-κ=(2.2-3)图2.2-1是从式2.2-3得到的均匀光纤光栅反射谱模拟。

两条曲线的参数分别为：δn=10-4与δn=2.5⨯10-5，n eff =1.46，L=2cm ，Λ=532nm ，在计算中选择ν=1。

由反射率的表达式可以得到最大反射率为()L tanh r 2max κ=，此时0ˆ＝σ，并且由此式我们知道峰值反射率和耦合因子与和光栅长度的乘积有关。

反射率最高处的电磁场波长为D eff effmax n n1λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛δ+=λ，从此式可以看出反射率最高处波长和布拉格波长还有一点差别，这是折射率微扰的平均值不为零造成的，由此式可以知道折射率微扰平均值越大，最高反射率处的波长也越大。

在我们制作光纤光栅的过程中可以观察到随着曝光量的增加，反射峰的峰值波长也逐渐向长波长方向移动，其原因也就是曝光量的增加导致折射率微扰幅度的增加。

2 均匀光纤光栅的反射带宽测量光纤光栅的反射带宽最方便的是反射峰的全高半宽，但是这个值从理论上不能得到一个解析表达式。

然而主峰两侧反射率等于零的两波长处的差值可以作为光栅带宽评价标准。

从均匀光栅反射率公式2.2-3可以知道，如果式中分子等于零，反射率则为零。

此时我们有：i m 2L ˆ22πσκ＝－ (2.2-4)式中m 是一个整数。

当m=0时，式2.2-3的分母也为零，但反射率不为零。

m=±1时 r=0，这对应着主峰两侧第一对零点。

这两个波长之间的距离为：()2D 2effeffD zeroL n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛λ+δνλ=λ∆ (2.2-5)从式中可以知道光纤长度L 越大，带宽越窄，而光栅越强（折射率微扰越大）带宽越宽。

在L n Deffλ<<δν情况下，可以得到L n eff2D zero λ≈λ∆，所以光栅长度是决定光栅带宽的主要因素；而Ln Deff λ>>δν情况下，eff eff D zero n n δν⋅λ≈λ∆，所以折射率微扰是主要因素，因为光波在达到光栅末尾前就已经全部被反射了。

因此应用中需要宽带宽时，可以从缩短短光栅长度和增大光栅强度两方面出发，而用长光栅和弱光栅则可以制作出满足窄带宽的光纤光栅。

3 均匀光纤光栅的时延和色散在光纤光栅的某些应用中，我们比较关心它的时延和色散特性，例如在色散补偿、脉冲整形和半导体外腔激光器中。

由于式2.2-2所描述的的反射系数是一个复数，从中可以得到708090100110wavelength (nm)d e l a y (p s )-2000-100010002000dispersion (ps/nm)图2.2-4均匀光栅的时延和色散图2.2-3均匀光栅的反射和相位谱0.00.10.20.30.40.50.6WavelengthR e f l e c t i v i t y-4-224phase光波经过光栅反射后相位变化情况。

图2.2-3显示了相位θρ随波长的关系。

和相位相关联的是光栅的时延和色散特性。