用 a (a≥0) 表示.
2
3.平方根的性质是什么？ 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
(4)原式= ( 13)2 32 13 9 4;
20
典例精析
例2：计算:
(5) 12
1 3
3;
(6) 8 18 . 2
解： (5)原式= 12 3 1 3 36 1 6 1 5; 3
(6)原式= 8 18 4 9 2 3 5. 22
21
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
3
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 b . 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
4
核心归纳
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式. 1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ；
19
典例精析
例2：计算:
(1)3 2 2 3;
(2) 12 3 5;
(3)( 5 1)2;
(4)( 13 3)( 13 3);
解： (1)原式= 3 2 2 3 6 6;
(2)原式= 12 3 5 36 5 6 5 1;
(3)原式= ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5;
14
二次根式的乘除运算
还记得吗?Байду номын сангаас
a b a b（a≥0，b≥0），
a
a
（a≥0，b＞0）．
bb
二次根式的
a b a b（a≥0，b≥0），
乘法法则和除法 法则
a
a
（a≥0，b＞0）．
bb
15
典例精析
例1：计算: (1) 6 2；
3
(2) 6 3 ； 2
(3) 2 . 5
解：(1) 6 2 6 2 4 2;
4. a≥0, ≥a0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
5
想一想：
观察下面的式子，它们都有什么共同特点？
13
5
8 21
4
被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数
6
核心归纳
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽 方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二 次根式.
17
想一想
1.试回顾如何计算3a2·2a3= 2. 3 5 2 2 如何计算呢？
6a5 . 还记得单项式
乘以单项式的 法则吗？
解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
归纳总结 二次根式的乘法扩充法则
m a n b =mn ab（a 0,b 0)
利用它可以 进行二次根式 的化简.
负
数
8
核心归纳
商的算术平方根的性质
a a a 0,b 0
b
b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除 式的算术平方根．
9
自主探究
例1 说一说下列各式哪些是二次根式.
(1) 32, (2) 6, (4) -m (m≤0), (6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.
13
1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：
8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 . 8
2 2, 3 2, 4 5,
2, 2,
2
4
2 5.
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?
几个二次根式化简后被开方数相同
8 ，18 ，0.5 ，1 为一组； 8
80 ，20 为一组.
10
练一练
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1 2
，
⑵ 16,
(3) a 2 2a 2 ， (4) x （ x） 0,
(5) m 32 .
11
自主探究
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32 .
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1≥0，即a≥-1.
积的算术平方根的性质
ab a b（a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积.
注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表 示非负数．
7
想一想：
(4) (9) (4) (9) 成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
非
36 6.
第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；
第二步：根式和根式按公式相乘.
18
二次根式的加减运算
合作探究
1.（1）3x2+2x2= 5x2 ; （2）x2+2x2+4y= 3x2+4y ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
80 45 解： 80 45 4 5 3 5 5.
3. 3 5 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
第二章 ·实数
第7节二次根式
1
知识回顾
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 ，a
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
12
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1,
你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
3
3
(2) 6 3 6 3 6 3 9 3;
2
2
2
(3) 2 2 2 5 10 . 5 5 55 5
16
练一练
计算: (1) 3 5；
(2) 1 27； 3
(3) 24 . 3
解：(1) 3 5 3 5 15;
(2) 1 27 1 27 9 3;
3
3
(3) 24 24 8 4 2 2 2. 33